Um sistema massa-mola-amortecedor tem massa de 100 kg , rigidez de 3.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \mathrm{e} coeficiente de amortecimento de 300 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcule a frequência natural não amortecida, o fator de amortecimento e a frequência natural amortecida. A solução oscila ( 5,477 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; 0,274 ; 5,267 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola–amortecedor com massa m=100,kg, rigidez k=3000,N/m e coeficiente de amortecimento c=300,kg/s. O que queremos é a frequência natural não amortecida \omega_n, o fator de amortecimento \zeta e a frequência natural amortecida \omega_d. Vamos usar as fórmulas da vibração livre de um grau de liberdade:
\textbf{1.}\\ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
\textbf{2.}\\ \zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_n}
\textbf{3.}\\ \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

Passo 2

Calcular a frequência natural não amortecida:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{3000}{100}} = \sqrt{30} \approx 5{,}477\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Calcular o fator de amortecimento:
\zeta = \frac{c}{2\,m\,\omega_n} = \frac{300}{2 \times 100 \times 5{,}477} = \frac{300}{1095{,}4} \approx 0{,}274.

Passo 4

Calcular a frequência natural amortecida:
\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} = 5{,}477 \,\sqrt{1 - (0{,}274)^2} \approx 5{,}477 \times 0{,}9617 \approx 5{,}267\\ \text{rad/s}.
Como \zeta<1, o sistema está subamortecido e a resposta livre oscila.

Resposta

\omega_n \approx 5{,}477\\ \text{rad/s},\quad \zeta \approx 0{,}274,\quad \omega_d \approx 5{,}267\\ \text{rad/s}.

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