Um sistema é considerado estável se, após uma pequena perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio. Em termos de controle, isso significa que a saída do sistema não diverge para valores infinitos ao longo do tempo. Existem diferentes tipos de estabilidade, sendo a estabilidade assintótica uma das mais importantes, onde o sistema não apenas permanece próximo do ponto de equilíbrio, mas também converge para ele ao longo do tempo. Dado um sistema descrito pela equação d xd t=(cc0 & 1 -k & -b) x+binom01 u, onde k e b são constantes.
Explique como a matriz de estado A pode ser utilizada para analisar a estabilidade do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear no espaço de estados
dxdt=A,x+B,u
com
A = 0 & 1 -k & -b , B = 01,
e pede para explicar como usar a matriz de estado A para analisar a estabilidade assintótica do sistema.

Passo 2

Em sistemas lineares LTI (Linear Time-Invariant), a estabilidade assintótica depende dos autovalores (ou valores próprios) de A. Cada autovalor lambda de A corresponde a um modo de resposta e^lambda t. Se Re(lambda)<0 para todos os autovalores, esses modos decayem ao longo do tempo e o sistema retorna ao equilíbrio após pequenas perturbações.

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, montamos a equação característica
detl(A - lambda Ir) = det -lambda & 1 -k & -b-lambda = 0
que resulta em
(-lambda)(-b-lambda) - (1)(-k) = lambda^2 + b,lambda + k = 0

Passo 4

As raízes dessa equação são
lambda1,2 = -b pm raizb^2 - 4k2
Pela condição de estabilidade assintótica, precisamos de Re(lambda1,2)<0. Pelo critério de Routh–Hurwitz para polinômios de segundo grau, isso equivale a
b > 0 e k > 0

Resposta

Para analisar a estabilidade do sistema, calcula-se os autovalores de
A = 0 & 1 -k & -b
pela equação característica lambda^2 + blambda + k=0. Se ambos os autovalores tiverem parte real negativa (o que ocorre exatamente quando b>0 e k>0), o sistema é assintoticamente estável.

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