Um sistema é considerado estável se, após uma pequena perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio. Em termos de controle, isso significa que a saída do sistema não diverge para valores infinitos ao longo do tempo. Existem diferentes tipos de estabilidade, sendo a estabilidade assintótica uma das mais importantes, onde o sistema não apenas permanece próximo do ponto de equilíbrio, mas também converge para ele ao longo do tempo. Dado um sistema descrito pela equação d xd t=(cc0 & 1 -k & -b) x+binom01 u, onde k e b são constantes.
Discuta também os conceitos de estabilidade de Lyapunov, que é um método usado para determinar a estabilidade de um sistema com base na energia do sistema, e como os autovalores da matriz A influenciam a resposta do sistema. O que significa ter autovalores com parte real negativa? Quais são as implicações se algum autovalor tiver parte real positiva ou zero?

Passo 1

O sistema está dado por
dxdt=A,x+B,u
com
A=0 & 1 -k & -b, B=01,
onde k e b são constantes positivas.
Conteúdo: estabilidade de sistemas lineares, critérios de Routh– Hurwitz, método de Lyapunov e interpretação dos autovalores de A.

Passo 2

Para estudar a estabilidade sem entrada ( u=0), obtemos os autovalores de A a partir da equação característica
det(lambda I - A) =det!lambda & -1 k & lambda+b =lambda(lambda+b)+k =lambda^2 + b,lambda + k=0

Passo 3

Pelas propriedades de equações quadráticas, as raízes lambda1,2 têm parte real negativa se, e somente se,
1. b>0 (somatório dos coeficientes positivo),
2. k>0 (produto dos coeficientes positivo).
Esse é exatamente o critério de Routh– Hurwitz para segunda ordem. Quando essas condições valem, Re(lambda1,2)<0 e o sistema é assintoticamente estável.

Passo 4

Método de Lyapunov: escolhemos uma função candidata de “energia”
V(x)=x^T P,x,
com P simétrica definida positiva (por exemplo P=I). Calculamos
dot V(x) =x^Tl(A^T P + P Ar)x
Se conseguirmos A^T P+PA definida negativa, então V decresce ao longo das trajetórias e o sistema é assintoticamente estável no sentido de Lyapunov. Para P=I, isso exige que A^T + A seja definido negativo, o que coincide com Re(lambdai)<0.

Passo 5

Interpretação dos autovalores de A:
  • Se todos os lambdai têm Re(lambdai)<0, o sistema retorna ao equilíbrio (estabilidade assintótica).
  • Se algum lambdai tem Re(lambdai)>0, pequenas perturbações crescem exponencialmente e o sistema é instável.
  • Se algum lambdai tem Re(lambdai)=0 (e os demais <=0), o sistema é marginalmente estável: as soluções podem permanecer limitadas mas não convergem necessariamente ao ponto de equilíbrio (ex.: oscilações sustentadas).

Resposta

  • Autovalores de A são raízes de lambda^2 + blambda + k=0.
  • Para b>0 e k>0, temos Re(lambda1,2)<0 e o sistema é assintoticamente estável.
  • Pelo método de Lyapunov, basta escolher V(x)=x^Tx e verificar que dot V<0.
  • Re(lambda)<0 Rightarrow convergência ao equilíbrio; Re(lambda)>0 Rightarrow instabilidade; Re(lambda)=0 Rightarrow estabilidade marginal.

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