Um sistema é considerado estável se, após uma pequena perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio. Em termos de controle, isso significa que a saída do sistema não diverge para valores infinitos ao longo do tempo. Existem diferentes tipos de estabilidade, sendo a estabilidade assintótica uma das mais importantes, onde o sistema não apenas permanece próximo do ponto de equilíbrio, mas também converge para ele ao longo do tempo. Dado um sistema descrito pela equação , onde k e b são constantes.
Considere um sistema de controle de temperatura em um forno industrial. O objetivo é manter a temperatura dentro de uma faixa específica, mesmo diante de variações externas, como a abertura de uma porta. Se o sistema for estável, a temperatura se ajustará rapidamente e retornará ao ponto desejado após qualquer perturbação. Discuta como a análise da matriz A pode ajudar a projetar um controlador eficaz que garanta essa estabilidade e como a escolha de parâmetros k e b impacta a resposta do sistema.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um sistema linear de ordem 2
dxdt=A,x+B,u, A=0 & 1-k & -b, B=01,
e queremos discutir como a análise de estabilidade de A e a escolha de k e b influenciam o projeto de um controlador de temperatura que recupere rapidamente o ponto de operação após perturbações.
Passo 2
Analisamos os autovalores de para verificar estabilidade assintótica. O polinômio característico é
As raízes são
Para estabilidade assintótica precisamos , o que ocorre se, e somente se,
Passo 3
Interpretação física:
k atua como “rigidez” ou ganho natural do sistema (maior k to resposta mais rápida).
b é o coeficiente de amortecimento (maior b to menos sobressinal/oscilações).
Podemos relacionar com frequência natural omegan e razão de amortecimento zeta pelo padrão
lambda^2 + 2zetaomegan,lambda + omegan^2 = 0,
logo omegan^2 = k e 2zetaomegan = b. Escolhas típicas:
zeta=1 (criticamente amortecido) para sem oscilação e tempo de assentamento moderado.
0<zeta<1 se aceitarmos leve oscilação em troca de resposta mais rápida.
Passo 4
Para projetar um controlador de realimentação de estados do tipo
u = -K,x + r,
o sistema em malha fechada fica
dotx=(A - B,K),x + B,r
Podemos escolher K=(k1;k2) de modo a realocar os polos em lambdad1,2 desejados (negativos e com amortecimento adequado), impondo
detl(lambda I - (A - BK)r) =lambda^2 + (b + k2)lambda + (k + k1)=0
igual ao polinômio de projeto lambda^2+2zetaomeganlambda+omegan^2.
Passo 5
Impacto de k,b na resposta:
Aumentar k (mantendo b fixo) acelera omegan, mas sem mais amortecimento pode gerar grande overshoot.
Aumentar b (mantendo k fixo) eleva zeta, reduzindo overshoot e oscilações, mas alonga o tempo de subida.
Em controle de temperatura, escolhe-se um compromisso entre rapidez (para recuperar temperatura ao abrir a porta) e suavidade (evitar oscilações e desgaste do atuador).
Resposta
Analisando os autovalores de A=0&1-k&-b
vemos que a estabilidade assintótica exige b>0 e k>0. A relação omegan^2=k, 2zetaomegan=b mostra como k determina a rapidez e b o amortecimento. Para projetar um controlador eficaz, usamos realimentação de estados u=-Kx+r e realocamos os polos de A-BK em lugares desejados (negativos, com zeta e omegan adequados), garantindo resposta rápida o suficiente para manter a temperatura no ponto de ajuste sem oscilações excessivas.