Um sistema consiste em uma esfera uniformemente carregada de raio R e um meio circundante preenchido por uma densidade de carga p=alpha / r, onde alpha é uma constante positiva e r é a distância desde o centro da esfera. Encontre a carga da esfera tal que o campo elétrico E fora da superficie da esfera é independente de r. Encontre também o valor de E.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera carregada de maneira uniforme com raio e um meio ao redor dela com uma densidade de carga que varia com a distância do centro, dada por , onde é uma constante positiva. O objetivo aqui é encontrar a carga da esfera de forma que o campo elétrico fora da superfície da esfera não dependa de , ou seja, seja constante. Além disso, também precisamos determinar o valor desse campo elétrico .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta fundamental em eletrostática para relacionar o campo elétrico com a distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Gauss nos diz. Ela estabelece que o fluxo do campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície:
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície fechada.
  • é a constante de permissividade do vácuo.
Para problemas com simetria esférica, como este, a Lei de Gauss simplifica bastante, já que o campo elétrico é o mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 maior que (ou seja, fora da esfera carregada). Pelo princípio da simetria, o campo elétrico será constante em magnitude em toda a superfície e apontará radialmente para fora.
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é a área da superfície da esfera gaussiana.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a carga total Qmeio = integralR^r p cdot dV = integralR^r alphar' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi alpha integralR^r r' dr' = 4pi alpha [ r'^22 ]R^r = 2pi alpha (r^2 - R^2) dentro dessa superfície gaussiana. Essa carga é composta pela carga da esfera Qenc = Qs + 2pi alpha (r^2 - R^2) mais a carga distribuída no meio circundante.
A densidade de carga do meio é dada por . Para encontrar a carga no meio de até , integramos a densidade de carga sobre o volume dessa região:
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é:

Passo 5

Voltando à equação da Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qs + 2pi alpha (r^2 - R^2)varepsilon0
Queremos que o campo elétrico 2pi alpha r^2 = 4pi varepsilon0 E r^2 seja independente de 2alpha = 4varepsilon0 E Rightarrow E = alpha2varepsilon0 , ou seja, que seja uma constante. Para isso, precisamos que os termos que dependem de se anulem ou fiquem de tal forma que não afetem .
Observando a equação, temos que o termo está multiplicando de forma que isso só será possível se:
Simplificando, cancelamos e :

Passo 6

Agora, vamos determinar a carga da esfera E cdot 4pi r^2 = Qs - 2pi alpha R^2 + 2pi alpha r^2varepsilon0 . Voltando à equação original e sabendo que Qs - 2pi alpha R^2 = 0 Rightarrow Qs = 2pi alpha R^2 é constante, podemos igualar as partes que não dependem de :
Já que é constante e independente de , a única maneira de equilibrar a equação é que os termos que não dependem de se anulem:

Resposta

A carga da esfera é e o campo elétrico fora da superfície da esfera é constante, dado por .

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