Um sistema consiste em uma esfera uniformemente carregada de raio
e um meio circundante preenchido por uma densidade de carga
, onde
é uma constante positiva e
é a distância desde o centro da esfera. Encontre a carga da esfera tal que o campo elétrico
fora da superficie da esfera é independente de
. Encontre também o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera carregada de maneira uniforme com raio
e um meio ao redor dela com uma densidade de carga que varia com a distância
do centro, dada por
, onde
é uma constante positiva. O objetivo aqui é encontrar a carga da esfera de forma que o campo elétrico
fora da superfície da esfera não dependa de
, ou seja, seja constante. Além disso, também precisamos determinar o valor desse campo elétrico
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta fundamental em eletrostática para relacionar o campo elétrico com a distribuição de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a Lei de Gauss nos diz. Ela estabelece que o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada é proporcional à carga total
dentro dessa superfície:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície fechada. -
é a constante de permissividade do vácuo.
Para problemas com simetria esférica, como este, a Lei de Gauss simplifica bastante, já que o campo elétrico
é o mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
maior que
(ou seja, fora da esfera carregada). Pelo princípio da simetria, o campo elétrico
será constante em magnitude em toda a superfície e apontará radialmente para fora.
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a área da superfície da esfera gaussiana.
Passo 4
Agora, precisamos determinar a carga total
dentro dessa superfície gaussiana. Essa carga é composta pela carga da esfera
mais a carga distribuída no meio circundante.
A densidade de carga do meio é dada por
. Para encontrar a carga no meio de
até
, integramos a densidade de carga sobre o volume dessa região:
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é:
Passo 5
Voltando à equação da Lei de Gauss:
Queremos que o campo elétrico
seja independente de
, ou seja, que seja uma constante. Para isso, precisamos que os termos que dependem de
se anulem ou fiquem de tal forma que não afetem
.
Observando a equação, temos que o termo
está multiplicando
de forma que isso só será possível se:
Simplificando, cancelamos
e
:
Passo 6
Agora, vamos determinar a carga da esfera
. Voltando à equação original e sabendo que
é constante, podemos igualar as partes que não dependem de
:
Já que
é constante e independente de
, a única maneira de equilibrar a equação é que os termos que não dependem de
se anulem:
Resposta
A carga da esfera é
e o campo elétrico fora da superfície da esfera é constante, dado por
.