(V/F) Se A é obtida trocando as linhas 2 e 3 da matriz identidade I, então \operatorname{det}(A)=1.

Passo 1

O enunciado diz: "Se A é obtida trocando as linhas 2 e 3 da matriz identidade I, então \operatorname{det}(A)=1".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações dadas: a matriz A é exatamente a matriz identidade I após se trocar a segunda e a terceira linha.

Passo 2

Lembrando o que é a matriz identidade: a matriz identidade I_n de ordem n tem 1s na diagonal e 0s fora da diagonal. Um fato simples e muito usado é:
\det(I_n)=1.
Por que isso é verdade? Uma explicação prática: I_n é uma matriz triangular (superior e inferior) e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal; como todos os elementos da diagonal de I_n são 1, o produto é 1.

Passo 3

Agora preciso explicar o que acontece com o determinante quando trocamos duas linhas de uma matriz. Existe uma propriedade básica e muito útil dos determinantes:
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1.
Vou dar uma justificativa bem direta e intuitiva, sem formalismo pesado. Imagine que temos uma matriz qualquer M. Se trocarmos duas linhas quaisquer de M obtemos uma nova matriz M'. Se fizermos a troca de linhas duas vezes seguidas (ou seja, trocarmos as mesmas duas linhas outra vez), voltamos à matriz original M. Logo, aplicando a operação duas vezes o determinante não deve mudar do valor inicial: se a troca multiplicasse o determinante por um fator k, aplicar duas trocas multiplicaria por k^2 e esse produto deve ser 1. Além disso, trocar duas linhas de uma matriz em que essas duas linhas são idênticas resulta numa matriz com duas linhas iguais, e o determinante de uma matriz com duas linhas iguais é 0. A única escolha consistente para k que satisfaz essas condições e a propriedade de alternância é k=-1. Por isso, trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Também há interpretação através de matrizes elementares de permutação: a matriz que troca duas linhas é uma matriz de permutação correspondente a um transposição; o determinante de uma transposição é -1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: começamos com I_n que tem determinante 1. Ao trocar as linhas 2 e 3 de I_n obtemos A. Pelo resultado do passo anterior:
\det(A) = -\det(I_n).
Como \det(I_n)=1, segue
\det(A) = -1.

Passo 5

Interpretação final: a afirmação do enunciado diz que \det(A)=1, mas acabamos de mostrar que \det(A)=-1. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

F

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