(V/F) Se
é obtida trocando as linhas 2 e 3 da matriz identidade
, então
.
Passo 1
O enunciado diz: "Se
é obtida trocando as linhas 2 e 3 da matriz identidade
, então
".
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações dadas: a matriz é exatamente a matriz identidade
após se trocar a segunda e a terceira linha.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F).
Informações dadas: a matriz
Passo 2
Lembrando o que é a matriz identidade: a matriz identidade
de ordem
tem
s na diagonal e
s fora da diagonal. Um fato simples e muito usado é:
Por que isso é verdade? Uma explicação prática:
é uma matriz triangular (superior e inferior) e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal; como todos os elementos da diagonal de
são
, o produto é
.
Passo 3
Agora preciso explicar o que acontece com o determinante quando trocamos duas linhas de uma matriz. Existe uma propriedade básica e muito útil dos determinantes:
Trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por
.
Vou dar uma justificativa bem direta e intuitiva, sem formalismo pesado. Imagine que temos uma matriz qualquer
. Se trocarmos duas linhas quaisquer de
obtemos uma nova matriz
. Se fizermos a troca de linhas duas vezes seguidas (ou seja, trocarmos as mesmas duas linhas outra vez), voltamos à matriz original
. Logo, aplicando a operação duas vezes o determinante não deve mudar do valor inicial: se a troca multiplicasse o determinante por um fator
, aplicar duas trocas multiplicaria por
e esse produto deve ser
. Além disso, trocar duas linhas de uma matriz em que essas duas linhas são idênticas resulta numa matriz com duas linhas iguais, e o determinante de uma matriz com duas linhas iguais é
. A única escolha consistente para
que satisfaz essas condições e a propriedade de alternância é
. Por isso, trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Também há interpretação através de matrizes elementares de permutação: a matriz que troca duas linhas é uma matriz de permutação correspondente a um transposição; o determinante de uma transposição é
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso: começamos com
que tem determinante
. Ao trocar as linhas 2 e 3 de
obtemos
. Pelo resultado do passo anterior:
Como
, segue
Passo 5
Interpretação final: a afirmação do enunciado diz que
, mas acabamos de mostrar que
. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
F