Para o sistema de equações lineares abaixo, pede-se:
c x+y+z=0 2 x+y+z=0 3 x+y+z=0
Verifique se a solução do sistema é um subespaço do R^3;

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo
x + y + z = 0, 2x + y + z = 0, 3x + y + z = 0
e pede para verificar se o conjunto solução é um subespaço de R^3. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma paramétrica da solução e depois checar as propriedades de subespaço.

Passo 2

Subtraindo a primeira equação da segunda,
(2x + y + z) - (x + y + z) = 0 ;Longrightarrow; x = 0
Substituindo x=0 na primeira equação x + y + z = 0
y + z = 0

Passo 3

A terceira equação 3x + y + z = 0 com x=0 também vira y + z = 0, sem adicionar restrições. Logo, tomamos z = t como parâmetro livre e obtemos
x = 0, y = -t, z = t, tinR

Passo 4

Escrevendo em forma vetorial,
(x,y,z) = t,(0,-1,1), tinR
Isso mostra que o conjunto das soluções é ,t(0,-1,1)mid tinR.

Passo 5

O conjunto ,t(0,-1,1)mid tinR contém o vetor nulo (quando t=0), é fechado sob soma e multiplicação escalar (pois é um span de um único vetor). Portanto, é um subespaço de R^3.

Resposta

A solução é o subespaço unidimensional Span(0,-1,1)subsetR^3.

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