Para o sistema de equações lineares abaixo, pede-se:
Verifique se a solução do sistema é um subespaço do R^3;
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema homogêneo
x + y + z = 0, 2x + y + z = 0, 3x + y + z = 0
e pede para verificar se o conjunto solução é um subespaço de R^3. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma paramétrica da solução e depois checar as propriedades de subespaço.
Passo 2
Subtraindo a primeira equação da segunda,
(2x + y + z) - (x + y + z) = 0 ;Longrightarrow; x = 0
Substituindo x=0 na primeira equação x + y + z = 0 dá
y + z = 0
Passo 3
A terceira equação 3x + y + z = 0 com x=0 também vira y + z = 0, sem adicionar restrições. Logo, tomamos z = t como parâmetro livre e obtemos
x = 0, y = -t, z = t, tinR
Passo 4
Escrevendo em forma vetorial,
(x,y,z) = t,(0,-1,1), tinR
Isso mostra que o conjunto das soluções é ,t(0,-1,1)mid tinR.
Passo 5
O conjunto ,t(0,-1,1)mid tinR contém o vetor nulo (quando t=0), é fechado sob soma e multiplicação escalar (pois é um span de um único vetor). Portanto, é um subespaço de R^3.
Resposta
A solução é o subespaço unidimensional Span(0,-1,1)subsetR^3.