Sistema de equações lineares Nos Exercícios 31-40, resolva o sistema usando eliminação de Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss–Jordan.
2 x+y+2 z=4
2 x+2 y=5
2 x-y+6 z=2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
2x + y + 2z = 4, 2x + 2y = 5, 2x - y + 6z = 2,
que é um caso típico de resolver por eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada, eliminamos abaixo dos pivôs e depois fazemos substituição regressiva (ou, no nosso caso, detectamos dependência de equações e parametricidade).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema e aplicamos as operações

Passo 3

Agora eliminamos o elemento na posição (3,2) usando
R3 >=ts R3 + 2,R2
[ccc|c 2 & 1 & 2 & 4 0 & 1 & -2 & 1 0 & -2& 4 & -2 ] ;xrightarrowR3+2R2; [ccc|c 2 & 1 & 2 & 4 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

A terceira linha virou [0;0;0mid0], que é uma equação trivial. Isso mostra que o sistema é dependente e possui infinitas soluções. Para expor todas, introduzimos um parâmetro, por exemplo
z = t, tinR

Passo 5

Da segunda linha (que corresponde a y - 2z = 1) obtemos
y - 2t = 1 Longrightarrow y = 1 + 2t
Substituindo y e z na primeira equação 2x + y + 2z = 4, vem
2x + (1+2t) + 2t = 4 Longrightarrow 2x + 1 + 4t = 4 Longrightarrow 2x = 3 - 4t Longrightarrow x = 3 - 4t2

Resposta

A solução geral é
(x,y,z) = l(tfrac3-4t2,,1+2t,,tr), tinR

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