Sistema de equações lineares Nos Exercícios 31-40, resolva o sistema usando eliminação de Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss–Jordan.
2 x1+5 x2-19 x3=34
3 x1+8 x2-31 x3=54

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
2x1+5x2-19x3=34, 3x1+8x2-31x3=54,
com três incógnitas e duas equações, e pede para resolver por eliminação de Gauss (com substituição regressiva ou Gauss–Jordan). Vamos usar o método de eliminação de Gauss e depois parametrizar a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema como
2 & 5 & -19 & 34 3 & 8 & -31 & 54

Passo 3

Eliminamos x1 na segunda linha. Para isso fazemos
2,R2 - 3,R1;longrightarrow;R2
Multiplicando temos
2,R2 = (6,;16,;-62,;108), 3,R1 = (6,;15,;-57,;102),
e subtraindo obtenho
R2 = (0,;1,;-5,;6)

Passo 4

A matriz reduzida é
2 & 5 & -19 & 34 0 & 1 & -5 & 6 ,
o que corresponde ao sistema triangular
2x1+5x2-19x3=34, x2-5x3=6
Da segunda equação temos
x2=6+5x3

Passo 5

Substituindo x2=6+5x3 na primeira equação:
2x1+5(6+5x3)-19x3=34
2x1+30+25x3-19x3=34
2x1+30+6x3=34
2x1=4-6x3
x1=2-3x3

Passo 6

Como há mais incógnitas do que equações, tomamos x3=t, com tinR, como parâmetro livre. Então a solução geral é
x1=2-3t, x2=6+5t, x3=t, tinR

Resposta

A solução geral do sistema é
(x1,x2,x3)=(2-3t,;6+5t,;t), tinR

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