Sistema de equações lineares Nos Exercícios 31-40, resolva o sistema usando eliminação de Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss–Jordan.
x1+5 x2+3 x3 =14
4 x2+2 x3+5 x4=3
3 x3+8 x4+6 x5=16
2 x1+4 x2 -2 x5=0
2 x1 =0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema linear de cinco equações e cinco incógnitas
x1+5x2+3x3=14, 4x2+2x3+5x4=3, 3x3+8x4+6x5=16, 2x1+4x2-2x5=0, 2x1=0
O conteúdo é eliminação de Gauss com substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente, na ordem (x1,x2,x3,x4,x5):
[ccccc|c 1 & 5 & 3 & 0 & 0 & 14 0 & 4 & 2 & 5 & 0 & 3 0 & 0 & 3 & 8 & 6 & 16 2 & 4 & 0 & 0 & -2 & 0 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Vou usar a quinta linha para achar direto x1.

Passo 3

Da quinta equação 2x1=0 segue
x1=0
Substituo x1=0 na quarta equação 2x1+4x2-2x5=0, obtendo
4x2-2x5=0 Longrightarrow x5=2x2

Passo 4

Agora as três primeiras equações ficam só em x2,x3,x4 (substituindo x1=0 e x5=2x2):
5x2+3x3=14, 4x2+2x3+5x4=3, 3x3+8x4+6(2x2)=16 ;Longrightarrow; 5x2+3x3=14, 4x2+2x3+5x4=3, 12x2+3x3+8x4=16
Escrevo a matriz aumentada reduzida
[ccc|c 5 & 3 & 0 & 14 4 & 2 & 5 & 3 12& 3 & 8 & 16 ]

Passo 5

Elimino x2 das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
L2>=ts L2-tfrac45,L1:; -tfrac25,x3+5x4=-tfrac415; L3>=ts L3-tfrac125,L1:; -tfrac215,x3+8x4=-tfrac885
Multiplicando cada uma por -5 para evitar frações:
2x3-25x4=41, 21x3-40x4=88

Passo 6

Elimino x3 dessas duas equações. Multiplico a primeira por 21 e a segunda por -2 e somo:
21(2x3-25x4)-2(21x3-40x4) =21cdot 41-2cdot 88 ;Longrightarrow; 445x4=-685 ;Longrightarrow; x4=-685445=-13789

Passo 7

Volto à equação 2x3-25x4=41 e substituo x4:
2x3-25l(-tfrac13789r)=41 ;Longrightarrow; 2x3=;41-l(-tfrac342589r) =3649-342589 =22489 ;Longrightarrow; x3=11289

Passo 8

Da primeira das três reduções, 5x2+3x3=14, substituo x3:
5x2+3l(tfrac11289r)=14 ;Longrightarrow; 5x2=1246-33689=91089 ;Longrightarrow; x2=18289
E lembre que x5=2x2, logo
x5=36489
Já tínhamos x1=0.

Resposta

x1=0, x2=18289, x3=11289, x4=-13789, x5=36489

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