Sistema homogêneo Nos Exercícios 47-50, resolva 0 sistema homogêneo de equações lineares.
x1-2 x2-8 x3=0
3 x1+2 x2=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de um sistema homogêneo de duas equações em três incógnitas (x1,x2,x3):
x1 - 2x2 - 8x3 = 0, 3x1 + 2x2 = 0
Como é um sistema homogêneo com menos equações que variáveis, esperamos um ou mais parâmetros livres. Vamos usar o método de substituição (ou escalonamento) para encontrar todas as soluções.

Passo 2

Da segunda equação
3x1 + 2x2 = 0
isolamos x1 em função de x2:
x1 = -tfrac23,x2

Passo 3

Substituímos x1 = -tfrac23x2 na primeira equação
x1 - 2x2 - 8x3 = 0
ficando
-tfrac23x2 ;-;2x2;-;8x3=0
Multiplicando tudo por 3 para eliminar frações, obtemos
-2x2 -6x2 -24x3=0 Longrightarrow -8x2 -24x3=0 Longrightarrow x2 +3x3=0
Logo
x2 = -3,x3

Passo 4

Já sabemos
x2 = -3x3, x1 = -tfrac23x2 = -tfrac23(-3x3) = 2x3
Como x3 fica livre, definimos o parâmetro t = x3. Assim
x1 = 2t, x2 = -3t, x3 = t,
onde tinR.

Resposta

A solução geral é
l(x1,x2,x3r) = t,(2,,-3,,1), tinR,
isto é, o espaço de soluções é o subespaço gerado pelo vetor (2,-3,1).

Exercícios relacionados