O sistema de equações a seguir está desenhado para determinar as concentrações ( c \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} ) em uma série de reatores acoplados em função da quantidade de entrada de massa para cada reator.
\begin{aligned} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3} & =3800 \\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3} & =1200 \\\\ -4 c_{1}-c_{2}+12 c_{3} & =2350 \end{aligned}
Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi com erro \varepsilon=5 \%.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{aligned} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3} &=3800\\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3} &=1200\\\\ -4 c_{1}-c_{2}+12 c_{3} &=2350
e pede para resolvê‑lo pelo método de Gauss–Jacobi com erro \varepsilon=5\%.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;1. As incógnitas são \;c_{1},c_{2},c_{3} (concentrações em \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}).
\;2. O método exigido é Gauss–Jacobi (iterações em que cada nova componente usa só os valores antigos da iteração anterior).
\;3. Critério de parada: erro relativo de \;5\% (vou usar o erro relativo aproximado por componente \displaystyle \frac{|c_i^{(k+1)}-c_i^{(k)}|}{|c_i^{(k+1)}|}\times100\%, e exigirei que todas as três componentes tenham erro relativo \le 5\%).
\;4. Não foi dada uma aproximação inicial; vou usar o palpite inicial padrão \;c^{(0)}=(0,0,0).

Passo 2

O que é o método de Gauss–Jacobi e por que ele funciona aqui (aula rápida, sem pressa):
  • Para um sistema linear \;A x=b com A=(a_{ij}), escrevemos cada equação isolando a variável da diagonal: a_{ii} x_i = b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j.
  • No método de Gauss–Jacobi definimos a iteração x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j^{(k)}\right),ou seja, todas as componentes da nova iteração usam apenas os valores da iteração anterior (nenhuma atualização “imediata” dentro da mesma iteração).
  • Condição prática de convergência: se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha), então o método converge. Vamos verificar isso no nosso sistema: \begin{aligned} |15| &> |{-3}|+|{-1}| \quad\Rightarrow\quad 15>4 \\ \\ (\text{ok}),\\\ |18| &> |{-3}|+|{-6}| \quad\Rightarrow\quad 18>9 \\ \\ (\text{ok}),\\\ |12| &> |{-4}|+|{-1}| \quad\Rightarrow\quad 12>5 \\ \\ (\text{ok}). \end{aligned}Como cada linha é estritamente diagonalmente dominante, o método de Gauss–Jacobi convergerá para a solução verdadeira a partir de uma aproximação inicial razoável.

Passo 3

Escrevendo explicitamente as fórmulas de iteração para \;c_1,c_2,c_3:
a partir das equações dadas isolamos cada variável da diagonal:
\begin{aligned} 15 c_{1} &= 3800 + 3 c_{2} + c_{3},\\\\ 18 c_{2} &= 1200 + 3 c_{1} + 6 c_{3},\\\\ 12 c_{3} &= 2350 + 4 c_{1} + c_{2}. \end{aligned}
Logo as fórmulas de Gauss–Jacobi são
\begin{aligned} c_{1}^{(k+1)} &= \frac{1}{15}\bigl(3800 + 3 c_{2}^{(k)} + c_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] c_{2}^{(k+1)} &= \frac{1}{18}\bigl(1200 + 3 c_{1}^{(k)} + 6 c_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] c_{3}^{(k+1)} &= \frac{1}{12}\bigl(2350 + 4 c_{1}^{(k)} + c_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Explicando o critério de erro que vou usar (para você poder aplicar na prova): defino o erro relativo aproximado para a componente i entre iterações k e k+1 como
E_i^{(k+1)}=\frac{\bigl|c_i^{(k+1)}-c_i^{(k)}\bigr|}{\bigl|c_i^{(k+1)}\bigr|}\times100\%.
Paro quando E_i^{(k+1)}\le 5\% para todas as componentes i=1,2,3. (Essa é uma escolha comum e prática em provas; é o que o enunciado pede por \varepsilon=5\%.)]

Passo 4

Escolha inicial e primeira iteração (faça igual na prova se não der tempo para outra inicialização):
  • Aproximação inicial: \;c^{(0)}=(0,0,0).
Aplicando as fórmulas com k=0:
\begin{aligned} c_{1}^{(1)} &= \frac{1}{15}\bigl(3800 + 3\cdot 0 + 1\cdot 0\bigr) = \frac{3800}{15}=253,3333333,\\[4pt] c_{2}^{(1)} &= \frac{1}{18}\bigl(1200 + 3\cdot 0 + 6\cdot 0\bigr)=\frac{1200}{18}=66,66666667,\\[4pt] c_{3}^{(1)} &= \frac{1}{12}\bigl(2350 + 4\cdot 0 + 1\cdot 0\bigr)=\frac{2350}{12}=195,8333333. \end{aligned}]

Passo 5

Segunda iteração ( k=1 k+1=2): usar os valores de c^{(1)}
\begin{aligned} c_{1}^{(2)} &= \frac{1}{15}\bigl(3800 + 3\cdot 66,66666667 + 195,8333333\bigr) = \frac{4195,8333333}{15}=279,7222222,\\[4pt] c_{2}^{(2)} &= \frac{1}{18}\bigl(1200 + 3\cdot 253,3333333 + 6\cdot 195,8333333\bigr) = \frac{3135}{18}=174,1666667,\\[4pt] c_{3}^{(2)} &= \frac{1}{12}\bigl(2350 + 4\cdot 253,3333333 + 66,66666667\bigr) = \frac{3430}{12}=285,8333333. \end{aligned}
Calculemos os erros relativos entre iterações 1 e 2 para checar (apenas para ver a evolução):
\begin{aligned} E_1^{(2)} &= \frac{|279,7222222-253,3333333|}{|279,7222222|}\times100\%\approx 9,43\%,\\[3pt] E_2^{(2)} &\approx 61,73\%,\qquad E_3^{(2)} \approx 31,49\%. \end{aligned}
Ainda longe de \;5\%, vamos continuar.]

Passo 6

Terceira iteração ( k=2 k+1=3):
\begin{aligned} c_{1}^{(3)} &= \frac{1}{15}\bigl(3800 + 3\cdot 174,1666667 + 285,8333333\bigr) = \frac{4608,3333333}{15}=307,2222222,\\[4pt] c_{2}^{(3)} &= \frac{1}{18}\bigl(1200 + 3\cdot 279,7222222 + 6\cdot 285,8333333\bigr) = \frac{3754,1666667}{18}=208,5648148,\\[4pt] c_{3}^{(3)} &= \frac{1}{12}\bigl(2350 + 4\cdot 279,7222222 + 174,1666667\bigr) = \frac{3643,0555555}{12}=303,58796296. \end{aligned}
Erros relativos entre iterações 2 e 3:
\begin{aligned} E_1^{(3)} &\approx \frac{|307,2222222-279,7222222|}{307,2222222}\times100\%\approx 8,96\%,\\[3pt] E_2^{(3)} &\approx 16,49\%,\qquad E_3^{(3)} \approx 5,85\%. \end{aligned}
Ainda não alcançamos \;5\% em todas.]

Passo 7

Quarta iteração ( k=3 k+1=4):
\begin{aligned} c_{1}^{(4)} &= \frac{1}{15}\bigl(3800 + 3\cdot 208,5648148 + 303,58796296\bigr) = \frac{4729,2824074}{15}=315,2854938,\\[4pt] c_{2}^{(4)} &= \frac{1}{18}\bigl(1200 + 3\cdot 307,2222222 + 6\cdot 303,58796296\bigr) = \frac{3943,1944444}{18}=219,0663570,\\[4pt] c_{3}^{(4)} &= \frac{1}{12}\bigl(2350 + 4\cdot 307,2222222 + 208,5648148\bigr) = \frac{3787,4537037}{12}=315,6203086. \end{aligned}
Agora os erros relativos entre iterações 3 e 4:
\begin{aligned} E_1^{(4)} &\approx \frac{|315,2854938-307,2222222|}{315,2854938}\times100\%\approx 2,56\%,\\[3pt] E_2^{(4)} &\approx \frac{|219,0663570-208,5648148|}{219,0663570}\times100\%\approx 4,80\%,\\[3pt] E_3^{(4)} &\approx \frac{|315,6203086-303,58796296|}{315,6203086}\times100\%\approx 3,82\%. \end{aligned}
Todas as três componentes já têm erro relativo menor que \;5\%. Portanto podemos parar aqui segundo o critério pedido.
(Comentário amigo: se você quiser melhorar a precisão, continua iterando mais; mas para a prova, com \varepsilon=5\%, essas aproximações são suficientes e o processo ficou bem curto — só 4 iterações.)]

Resposta

c_{1}\approx 315,2854938\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}
c_{2}\approx 219,0663570\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}
c_{3}\approx 315,6203086\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}

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