O sistema de equações a seguir está desenhado para determinar as concentrações ( c \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3} ) em uma série de reatores acoplados em função da quantidade de entrada de massa para cada reator.
e pede para resolvê‑lo pelo método de Gauss–Jacobi com erro \varepsilon=5\%.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \;1. As incógnitas são \;c_{1},c_{2},c_{3} (concentrações em \mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}). \;2. O método exigido é Gauss–Jacobi (iterações em que cada nova componente usa só os valores antigos da iteração anterior). \;3. Critério de parada: erro relativo de \;5\% (vou usar o erro relativo aproximado por componente \displaystyle \frac{|c_i^{(k+1)}-c_i^{(k)}|}{|c_i^{(k+1)}|}\times100\%, e exigirei que todas as três componentes tenham erro relativo \le 5\%). \;4. Não foi dada uma aproximação inicial; vou usar o palpite inicial padrão \;c^{(0)}=(0,0,0).
Passo 2
O que é o método de Gauss–Jacobi e por que ele funciona aqui (aula rápida, sem pressa):
Para um sistema linear \;A x=b com A=(a_{ij}), escrevemos cada equação isolando a variável da diagonal:a_{ii} x_i = b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j.
No método de Gauss–Jacobi definimos a iteraçãox_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j^{(k)}\right),ou seja, todas as componentes da nova iteração usam apenas os valores da iteração anterior (nenhuma atualização “imediata” dentro da mesma iteração).
Condição prática de convergência: se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha), então o método converge. Vamos verificar isso no nosso sistema:\begin{aligned} |15| &> |{-3}|+|{-1}| \quad\Rightarrow\quad 15>4 \\ \\ (\text{ok}),\\\ |18| &> |{-3}|+|{-6}| \quad\Rightarrow\quad 18>9 \\ \\ (\text{ok}),\\\ |12| &> |{-4}|+|{-1}| \quad\Rightarrow\quad 12>5 \\ \\ (\text{ok}). \end{aligned}Como cada linha é estritamente diagonalmente dominante, o método de Gauss–Jacobi convergerá para a solução verdadeira a partir de uma aproximação inicial razoável.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as fórmulas de iteração para \;c_1,c_2,c_3:
a partir das equações dadas isolamos cada variável da diagonal:
Explicando o critério de erro que vou usar (para você poder aplicar na prova): defino o erro relativo aproximado para a componente i entre iterações k e k+1 como
Paro quando E_i^{(k+1)}\le 5\% para todas as componentes i=1,2,3. (Essa é uma escolha comum e prática em provas; é o que o enunciado pede por \varepsilon=5\%.)]
Passo 4
Escolha inicial e primeira iteração (faça igual na prova se não der tempo para outra inicialização):
Todas as três componentes já têm erro relativo menor que \;5\%. Portanto podemos parar aqui segundo o critério pedido.
(Comentário amigo: se você quiser melhorar a precisão, continua iterando mais; mas para a prova, com \varepsilon=5\%, essas aproximações são suficientes e o processo ficou bem curto — só 4 iterações.)]