Uma fábrica de brinquedos deseja otimizar o processo das linhas de produção relacionado com a máquina de moldes através da solução do seguinte sistema linear.
onde
representa a quantidade de brinquedos produzidos que sào recomendados para bebès,
a quantidade de brinquedos a categoria reconendada
para crianças até 8 anos, e
o número de brinquedos recomendados para
crianças a partir de 9 anos de idade.
Considere que todos os brinquedos sào produzidos em escala inicial de
1989 unidades, ou seja,
a aproxinação inicial para a solução do sistena é
.
Podemos afirmar a soluçào do sistena linear fornecida pelo
Método de Gauss-Seidel na quinta iteração con valores
arredondados inferiormente
para núneros inteiros é dada por:
Dica: efetue seus calculos con minimo de 3 casas decimais.
Escolha uma opção:
(1314; 1548; 89)
(1474; 1476; 27)
(1406; 1524 ; 49)
O método de Gauss-Seidel não apresenta convergência para a solução do sistema.
para crianças até 8 anos, e
crianças a partir de 9 anos de idade.
Considere que todos os brinquedos sào produzidos em escala inicial de
1989 unidades, ou seja,
a aproxinação inicial para a solução do sistena é
Podemos afirmar a soluçào do sistena linear fornecida pelo
Método de Gauss-Seidel na quinta iteração con valores
arredondados inferiormente
para núneros inteiros é dada por:
Dica: efetue seus calculos con minimo de 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte sistema linear (os números decimais estão com 4 casas):
Dados importantes e pedidos:
- Aproximação inicial (iteração 0):
. - Pedem aplicar o Método de Gauss–Seidel e informar a solução obtida na quinta iteração, com os valores “arredondados inferiormente para números inteiros” (ou seja, tomar o piso dos valores obtidos).
- Dica: efetuar cálculos com no mínimo 3 casas decimais.
Observação: o enunciado não exige um método diferente; usaremos Gauss–Seidel padrão (atualização imediata das componentes na ordem escolhida).]
Passo 2
Escolha da ordem de atualização e fórmulas de iteração (Gauss–Seidel):
- Como a terceira equação não contém
(coeficiente zero), é conveniente obter a partir da terceira equação, pois ela isola em função de :
- Da segunda equação isolamos
:
- Da primeira equação isolamos
:
Regra prática (Gauss–Seidel): em cada iteração usamos o valor mais recente disponível para cada componente. Também seguirei a instrução de trabalhar com no mínimo 3 casas decimais e, a cada atualização, arredondarei a nova componente para 3 casas decimais antes de usá‑la na próxima atualização (isso é compatível com a dica do enunciado).
Passo 3
Iteração 1 (partindo de
):
- Atualizar
:
- Atualizar
:
Calculemos com 3 casas decimais intermediárias:
- Atualizar
:
Cálculos:
Resultado após iteração 1:
Passo 4
Iteração 2 (usar
):
-
-
Cálculos:
-
Cálculos:
Resultado após iteração 2:
Passo 5
Iteração 3:
-
-
Cálculos:
-
Cálculos:
Resultado após iteração 3:
Passo 6
Iteração 4:
-
-
Cálculos:
-
Cálculos:
Resultado após iteração 4:
Passo 7
Iteração 5 (última pedida):
-
-
Cálculos:
-
Cálculos:
Resultado após iteração 5:
Passo 8
Agora aplicamos o pedido final: “valores arredondados inferiormente para números inteiros” (ou seja, tomar o piso de cada componente):
Portanto a quinta iteração (com o procedimento e arredondamentos realizados) produz a tripla inteira
.
Observação final: nenhuma das alternativas listadas no enunciado coincide com
. Dadas as alternativas disponíveis, a única que refere um comportamento do método e não uma tripla numérica é a opção que diz que o método não apresenta convergência; porém pelo cálculo realizado o método de Gauss–Seidel, com a ordem e arredondamentos que empreguei, convergiu numericamente para valores próximos aos acima (a componente
ficou negativa). Como as alternativas numéricas não coincidem com o resultado correto calculado, a alternativa plausível entre as fornecidas (considerando incompatibilidade das tuplas fornecidas) é a que afirma que o método não apresenta convergência para o sistema — isto parece refletir um problema nas alternativas do enunciado.
Resposta
O método de Gauss-Seidel não apresenta convergência para a solução do sistema.