Um sistema de irrigação de um campo de golfe descarrega a água de um cano horizontal à taxa de 7.200 cm³/s. Em um ponto do cano em que o raio é 4,0 cm, a pressão da água é 2,4 × 10^5 Pa. Em um segundo ponto do cano, a água passa por um afunilamento, onde o raio é 2,0 cm. Use a densidade volumétrica da água igual a 1,0 × 10³ kg/m³.
a) Quais são as velocidades da água fora e dentro do afunilamento?
b) Qual é a pressão da água ao passar por esse afunilamento?

Passo 1

O enunciado descreve escoamento estacionário e incompressível de água em um cano horizontal com vazão Q=7200 cm^3/s. No ponto 1 o raio é r1=4,0 cm e a pressão é P1=2,4times10^5 Pa; no ponto 2 há um afunilamento com r2=2,0 cm. A densidade é rho=1,0times10^3 kg/m^3. Vamos usar:
– Equação da continuidade ( A1v1=A2v2=Q).
– Equação de Bernoulli em cano horizontal ( P1+tfrac12rho v1^2=P2+tfrac12rho v2^2).

Passo 2

Converter a vazão para m^3/s e calcular as áreas:
Q = 7200times10^-6,m^3/s = 7,2times10^-3,m^3/s
A1 = pi r1^2 = pi(0,04,m)^2, A2 = pi r2^2 = pi(0,02,m)^2

Passo 3

Pela continuidade:
A1v1 = A2v2 = Q ;Longrightarrow; v1 = QA1, v2 = QA2
Substituindo:
v1 = 7,2times10^-3pi(0,04)^2approx1,43,m/s, v2 = 7,2times10^-3pi(0,02)^2approx5,73,m/s

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre 1 e 2:
P1 + tfrac12,rho,v1^2 = P2 + tfrac12,rho,v2^2 ;Longrightarrow; P2 = P1 + tfrac12,rhol(v1^2 - v2^2r)
Com P1=2,4times10^5,Pa e rho=1,0times10^3,kg/m^3:
P2 = 2,4times10^5 + tfrac12cdot1,0times10^3l(1,43^2 - 5,73^2r) approx 2,25times10^5,Pa

Resposta

a) v1approx1,43 m/s, v2approx5,73 m/s
b) P2approx2,25times10^5 Pa

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