Quando um sistema isolado passa de um estado de equilíbrio a outro por uma transformação irreversível, como podemos calcular a variação da entropia \Delta S do sistema entre esse dois estados?
a) A variação da entropia é zero porque um sistema isolado não troca calor.
b) Basta calcular a integral de d Q T, pelo caminho irreversível, do estado inicial até o final.
c) Podemos calcular a variação da entropia de um processo reversível que leve do mesmo estado inicial ao mesmo estado final do sistema, pois será a mesma que a variação pelo processo irreversível
d) Não é possível calcular a variação da entropia de um processo irreversível, somente sabemos que é maior que zero.
e) Se o estado inicial e final são de equilíbrio, a transformação não pode ser irreversível.

Passo 1

O enunciado pergunta: quando um sistema isolado passa de um estado de equilíbrio a outro por uma transformação irreversível, como calcular a variação da entropia \Delta S do sistema entre esses dois estados?
As opções dadas são:
a) A variação da entropia é zero porque um sistema isolado não troca calor.
b) Basta calcular a integral de \dfrac{dQ}{T}, pelo caminho irreversível, do estado inicial até o final.
c) Podemos calcular a variação da entropia de um processo reversível que leve do mesmo estado inicial ao mesmo estado final do sistema, pois será a mesma que a variação pelo processo irreversível.
d) Não é possível calcular a variação da entropia de um processo irreversível, somente sabemos que é maior que zero.
e) Se o estado inicial e final são de equilíbrio, a transformação não pode ser irreversível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o sistema é isolado (logo não troca calor com o exterior), o processo em questão é irreversível e tanto o estado inicial quanto o final são estados de equilíbrio.

Passo 2

Vamos entender o que é entropia e uma relação fundamental que a define em processos reversíveis. Definição prática que vamos usar: para uma transformação reversível infinitesimal, a variação infinitesimal de entropia é
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde:
  • dS é a variação infinitesimal da entropia do sistema;
  • \delta Q_{\text{rev}} é a quantidade infinitesimal de calor trocada ao longo de um caminho reversível;
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin) na qual essa troca ocorre.
Explicação: essa fórmula diz que, ao longo de um caminho reversível, você pode “somar” pequenas parcelas \delta Q_{\text{rev}}/T para obter a mudança total de entropia. Importante: aqui usamos sublinhado em “rev” para lembrar que essa expressão vale exatamente para caminhos reversíveis.

Passo 3

Propriedade crucial: entropia é uma função de estado. Isso significa que a variação total de entropia entre um estado inicial A e um estado final B, \Delta S_{A\to B}, depende apenas dos estados A e B, e não do caminho físico seguido entre eles. Em símbolos:
\Delta S_{A\to B}=S(B)-S(A)
é a mesma seja o processo real reversível ou irreversível. Por isso podemos calcular \Delta S_{A\to B} escolhendo qualquer caminho conveniente que seja reversível entre A e B, e usar
\Delta S_{A\to B}=\int_{A}^{B}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Isso é permitido porque a entropia sendo função de estado garante que o resultado da integral sobre um caminho reversível que liga A a B é único e igual à variação de entropia do próprio sistema entre esses estados, mesmo que o processo real tenha sido irreversível.

Passo 4

Clausius e desigualdade: para um processo qualquer (reversível ou irreversível),
\Delta S \ge \int_{A}^{B}\frac{\delta Q}{T},
onde \delta Q é o calor efetivamente trocado no processo real. A igualdade vale somente se o processo for reversível. Consequência importante para sistema isolado: para um sistema isolado \delta Q=0 ao longo do processo real (não há troca de calor com o exterior), portanto
\Delta S \ge 0.
Ou seja: em um sistema isolado a entropia não diminui; ela aumenta para processos irreversíveis e permanece constante apenas se o processo for reversível (caso raro para isolado).

Passo 5

Exemplo concreto e clássico (muito útil para a prova): expansão livre de um gás ideal em um recipiente isolado. Situação: inicialmente o gás ocupa volume V_1 em equilíbrio; depois, por uma abertura, expande-se espontaneamente e, ao final, está em equilíbrio ocupando volume V_2>V_1. Processo real: irreversível e isolado ( \delta Q=0). Como calcular \Delta S?
Escolhemos um caminho reversível conveniente entre os mesmos estados: uma expansão isotérmica reversível do gás ideal de V_1 a V_2 à mesma temperatura T. Para essa expansão reversível temos:
\delta Q_{\text{rev}} = pdV,
e como para gás ideal p=\dfrac{nRT}{V}, então
\delta Q_{\text{rev}} = nR\frac{T}{V}dV.
Dividindo por T e integrando:
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=nR\frac{dV}{V}
\Rightarrow \Delta S=\int_{V_1}^{V_2} nR\frac{dV}{V}=nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Esse valor é a variação de entropia do gás entre os estados de equilíbrio inicial e final — vale tanto para a expansão reversível escolhida quanto para a expansão livre irreversível real, porque \Delta S é função de estado. Note que \Delta S>0 quando V_2>V_1, coerente com a segunda lei.

Passo 6

Interpretações das alternativas com base no que vimos:
  • Sobre a alternativa (a): dizer que \Delta S=0 apenas porque o sistema isolado não troca calor é falso. A ausência de troca de calor com o exterior ( \delta Q=0) garante \Delta S\ge0, mas para processos irreversíveis a entropia aumenta ( \Delta S>0). Então (a) está errada.
  • Sobre (b): integrar \dfrac{dQ}{T} pelo caminho irreversível não dá, em geral, a variação de entropia, porque a relação dS=\dfrac{\delta Q}{T} vale somente para processos reversíveis. Assim (b) está errada.
  • Sobre (d): é verdade que para um processo irreversível em um sistema isolado podemos afirmar \Delta S>0, mas é falso que não podemos calcular \Delta S. Pela propriedade de função de estado podemos calcular \Delta S escolhendo um caminho reversível que ligue os mesmos estados. Então (d) está incorreta.
  • Sobre (e): é perfeitamente possível que o estado inicial e final sejam estados de equilíbrio e que a transformação entre eles seja irreversível (ex.: expansão livre do gás). Logo (e) é falsa.
  • Sobre (c): diz exatamente a propriedade útil: podemos calcular \Delta S por um processo reversível entre os mesmos estados, e esse valor será igual à variação de entropia do processo irreversível real. Isso está correto.

Passo 7

Resumo amigável e incentivo: então a ideia chave para a prova é decorar e entender duas coisas: (1) entropia é função de estado — depende só de estado inicial e final; (2) a fórmula prática para calcular \Delta S é sempre usar um caminho reversível conveniente e avaliar \displaystyle \int \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Com isso você resolve casos como expansão livre, mistura irreversível, etc. Vai dar certo — respira fundo, e lembre-se desse procedimento na hora da prova!

Resposta

c

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