Sistema linear
l X+2 y+z=2 2 x+y-z=a X-y+(6-b) z=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + 2y + z = 2, 2x + y - z = a, x - y + (6 - b),z = 1,
e pede a discussão em termos de a e b sobre existência e unicidade de solução. Vamos usar o Teorema de Rouché–Frobenius, calculando o determinante da matriz dos coeficientes e comparando com a matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|b]:
A = 1 & 2 & 1 2 & 1 & -1 1 & -1 & 6 - b , [A|b] = 1 & 2 & 1 & 2 2 & 1 & -1 & a 1 & -1 & 6 - b & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1l(1cdot(6 - b)-(-1)cdot(-1)r) -2l(2cdot(6 - b)-(-1)cdot1r) +1l(2cdot(-1)-1cdot1r)
Desenvolvendo,
det(A)=(6-b-1)-2(12-2b+1)+( -2-1 ) =(5-b)-2(13-2b)-3 =5-b-26+4b-3=3b-24=3(b-8)

Passo 4

Se bneq8 então det(A)=3(b-8)neq0. Pelo Teorema de Rouché–Frobenius, o sistema é compatível determinado, ou seja, tem única solução.

Passo 5

Se b=8 então det(A)=0. O sistema pode ser ou indeterminado ou incompatível, dependendo de a. Substituindo b=8 em A vemos que a terceira linha é combinação linear das duas primeiras:
linha3 = -1cdotlinha1 + 1cdotlinha2
Para haver soluções, o mesmo relacionamento deve valer nos termos independentes:
1 stackrel!= -1cdot2 + 1cdot a Longrightarrow 1 = -2 + a Longrightarrow a = 3

Passo 6

Concluímos:
  • Se bneq8: sistema tem única solução.
  • Se b=8 e a=3: sistema tem infinitas soluções (compatível indeterminado).
  • Se b=8 e aneq3: sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

O sistema é
bul<=t compatível determinado (única solução) se, e somente se, bneq8.
bul<=t compatível indeterminado (infinitas soluções) se, e somente se, b=8 e a=3.
bul<=t incompatível (sem solução) se, e somente se, b=8 e aneq3.

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