Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é 200 g e a constante elástica é 3,200 pi^2 N / m. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em 5,00 cm e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
o deslocamento, a velocidade e aceleração como funções do tempo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola sem atrito. Temos uma massa de 200 g (que é 0,2 kg) e uma mola com constante elástica de 3,200 pi^2 , N/m. A massa é puxada para esticar a mola em 5,00 cm (ou 0,05 m) e então solta, começando a oscilar. O que precisamos fazer é encontrar como o deslocamento, a velocidade e a aceleração da massa mudam com o tempo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que esse sistema faz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular ( omega) do sistema. A frequência angular nos diz quão rápido a massa oscila. A fórmula para omega em um sistema massa-mola é:
omega = raizkm
Onde:
  • k é a constante elástica da mola ( 3,200 pi^2 , N/m)
  • m é a massa ( 0,2 , kg)
Vamos calcular:
omega = raiz3,200 pi^20,2 = raiz16 pi^2 = 4 pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função do deslocamento x(t). No movimento harmônico simples, o deslocamento como função do tempo é dado por:
x(t) = x0 cos(omega t)
Onde:
  • x0 é o deslocamento inicial (0,05 m)
  • omega é a frequência angular que calculamos ( 4 pi , rad/s)
Então, substituindo:
x(t) = 0,05 cos(4 pi t)

Passo 4

Para achar a velocidade v(t), precisamos derivar a função de deslocamento x(t) em relação ao tempo. A derivada de x(t) nos dá a velocidade:
v(t) = dxdt = -x0 omega sin(omega t)
Substituindo os valores:
v(t) = -0,05 times 4 pi sin(4 pi t) = -0,2 pi sin(4 pi t)

Passo 5

Por fim, para encontrar a aceleração a(t), derivamos a função de velocidade v(t) em relação ao tempo. A derivada de v(t) nos dá a aceleração:
a(t) = dvdt = -x0 omega^2 cos(omega t)
Substituindo os valores:
a(t) = -0,05 times (4 pi)^2 cos(4 pi t) = -0,05 times 16 pi^2 cos(4 pi t) = -0,8 pi^2 cos(4 pi t)

Resposta

As funções do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo são:
x(t) = 0,05 cos(4 pi t) , m
v(t) = -0,2 pi sin(4 pi t) , m/s
a(t) = -0,8 pi^2 cos(4 pi t) , m/s^2

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