1. Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é \mathbf{2 0 0 ~ g} e a constante elástica é 3,200 \pi^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em \mathbf{5 , 0 0 ~ c m} e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
A) Escreva, como funções do tempo, as equações para o cálculo da energia potencial, da energia cinética e da energia mecânica total.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • O enunciado pede: escrever, como funções do tempo, as equações da energia potencial elástica, da energia cinética e da energia mecânica total para a oscilação.
  • Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
    • Massa: m=200\\ \text{g} = 0,200\\ \mathrm{kg}.
    • Constante elástica: k=3\,200\,\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
    • Deslocamento inicial (alongamento) quando abandonada: A=5,00\\ \text{cm}=0,050\\ \mathrm{m}.
    • Foi abandonada (isto implica velocidade inicial v(0)=0).
Nesta etapa não resolvo nada ainda — apenas organizei os dados e o objetivo.

Passo 2

Modelo físico e equação do movimento — revisão didática curta.
  • Em um sistema massa-mola sem atrito a equação do movimento é a equação de oscilador harmônico simples:
m\ddot{x} + kx = 0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (em \mathrm{m});
  • \ddot{x} é a segunda derivada temporal de x, ou seja a aceleração;
  • m é a massa em \mathrm{kg};
  • k é a constante da mola em \mathrm{N/m}.
  • A solução geral é uma oscilação harmônica de forma
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento) em \mathrm{m};
  • \omega é a frequência angular, dada por \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial (adimensional), determinada pelas condições iniciais.

Passo 3

Determinar \omega, a condição inicial e escolher a fase.
  • Calculo de \omega:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} =\sqrt{\dfrac{3\,200\,\pi^{2}}{0,200}} =\sqrt{16\,000\,\pi^{2}} =\pi\sqrt{16\,000} =\pi\cdot40\sqrt{10} =40\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega\approx 397,9\\ \mathrm{rad/s}.
  • Condições iniciais do enunciado:
    • x(0)=A=0,050\\ \mathrm{m} (a massa é solta a partir do alongamento máximo);
    • v(0)=0 (abandonada sem velocidade inicial).
  • Usando x(0)=A\cos\varphi=0,050 e v(0)=-A\omega\sin\varphi=0. A segunda equação dá \sin\varphi=0\Rightarrow \varphi=0 ou \varphi=\pi. Com \varphi=0 temos \cos\varphi=1 e A=0,050, que coincide com o x(0) positivo dado. Então escolhemos \varphi=0.
  • Assim, a solução do movimento que usamos é
x(t)=A\cos(\omega t)=0,050\cos(\omega t)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Velocidade como função do tempo (precisamos dela para energia cinética).
  • Derivando x(t) em relação ao tempo:
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t)=-0,050\,\omega\sin(\omega t)\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: a velocidade é a derivada do deslocamento; o sinal negativo mostra que quando x está diminuindo (cos negativo de seno positivo) a velocidade pode ser negativa, etc. Aqui apenas preciso da expressão quadrada para energia.

Passo 5

Fórmulas das energias — revisão didática.
  • Energia potencial elástica armazenada na mola (energia associada ao alongamento x):
U(x)=\tfrac{1}{2}kx^{2},
onde k é a constante da mola e x o deslocamento instantâneo.
  • Energia cinética da massa:
K(v)=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde m é a massa e v a velocidade instantânea.
  • Energia mecânica total (sem atrito) é a soma:
E=K+U,
e para um oscilador harmônico sem perda de energia E é constante ao longo do tempo. Uma identidade útil é que, usando v(t) e x(t),
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}.
Isso decorre de k=m\omega^{2} e das formas de U e K.

Passo 6

Substituir x(t) e v(t) nas fórmulas para obter U(t), K(t) e E.
  • Energia potencial como função do tempo:
U(t)=\tfrac{1}{2}k\bigl(x(t)\bigr)^{2} =\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t).
  • Energia cinética como função do tempo:
K(t)=\tfrac{1}{2}m\bigl(v(t)\bigr)^{2} =\tfrac{1}{2}m\bigl(A\omega\bigr)^{2}\sin^{2}(\omega t) =\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t).
  • Usando k=m\omega^{2} as duas formas anteriores têm a mesma amplitude de energia total:
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2},
e a identidade trigonométrica \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1 garante U(t)+K(t)=E para todo t.

Passo 7

Calcular os valores numéricos simplificados (expressões finais com números).
  • Primeiro calcule \tfrac{1}{2}kA^{2} simbolicamente:
\tfrac{1}{2}kA^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 3\,200\,\pi^{2}\cdot(0,050)^{2}.
Como (0,050)^{2}=0,0025 e 3\,200\cdot0,0025=8, obtemos
E=\tfrac{1}{2}kA^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado:
E\approx 4\cdot 9{,}8696=39{,}478\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox. }39{,}48\\ \mathrm{J}).
  • Portanto as expressões finais ficam simples em termos de E:
U(t)=E\cos^{2}(\omega t)=4\pi^{2}\cos^{2}(\omega t)\\ \mathrm{J},
K(t)=E\sin^{2}(\omega t)=4\pi^{2}\sin^{2}(\omega t)\\ \mathrm{J},
com \omega=40\pi\sqrt{10}\\ \mathrm{rad/s}\approx397{,}9\\ \mathrm{rad/s}.
  • Observação didática final: essas expressões mostram claramente a troca periódica entre energia cinética e potencial. Em instantes onde \cos(\omega t)=\pm1 (máximo deslocamento) temos U=E, K=0. Em instantes onde \sin(\omega t)=\pm1 (passagem pela posição de equilíbrio) temos K=E, U=0.

Resposta

U(t)=\tfrac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}(\omega t)=4\pi^{2}\cos^{2}(\omega t)\\ \mathrm{J}
K(t)=\tfrac{1}{2}mA^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t)=4\pi^{2}\sin^{2}(\omega t)\\ \mathrm{J}
E= \tfrac{1}{2}kA^{2}=4\pi^{2}\\ \mathrm{J}

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