- Em um sistema massa-mola sem atrito a massa do corpo é
e a constante elástica é
. A massa é deslocada, esticando-se a mola, em
e em seguida abandonada. Para a oscilação determinar:
A) Escreva, como funções do tempo, as equações para o cálculo da energia potencial, da energia cinética e da energia mecânica total.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- O enunciado pede: escrever, como funções do tempo, as equações da energia potencial elástica, da energia cinética e da energia mecânica total para a oscilação.
- Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
- Massa:
. - Constante elástica:
. - Deslocamento inicial (alongamento) quando abandonada:
. - Foi abandonada (isto implica velocidade inicial
).
- Massa:
Nesta etapa não resolvo nada ainda — apenas organizei os dados e o objetivo.
Passo 2
Modelo físico e equação do movimento — revisão didática curta.
- Em um sistema massa-mola sem atrito a equação do movimento é a equação de oscilador harmônico simples:
onde:
-
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (em ); -
é a segunda derivada temporal de , ou seja a aceleração; -
é a massa em ; -
é a constante da mola em . -
A solução geral é uma oscilação harmônica de forma
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento) em ; -
é a frequência angular, dada por (em ); -
é a fase inicial (adimensional), determinada pelas condições iniciais.
Passo 3
Determinar
, a condição inicial e escolher a fase.
- Calculo de
:
Valor numérico aproximado:
-
Condições iniciais do enunciado:
-
(a massa é solta a partir do alongamento máximo); -
(abandonada sem velocidade inicial).
-
-
Usando
e . A segunda equação dá ou . Com temos e , que coincide com o positivo dado. Então escolhemos . -
Assim, a solução do movimento que usamos é
Passo 4
Velocidade como função do tempo (precisamos dela para energia cinética).
- Derivando
em relação ao tempo:
Expliquei: a velocidade é a derivada do deslocamento; o sinal negativo mostra que quando
está diminuindo (cos negativo de seno positivo) a velocidade pode ser negativa, etc. Aqui apenas preciso da expressão quadrada para energia.
Passo 5
Fórmulas das energias — revisão didática.
- Energia potencial elástica armazenada na mola (energia associada ao alongamento
):
onde
é a constante da mola e
o deslocamento instantâneo.
- Energia cinética da massa:
onde
é a massa e
a velocidade instantânea.
- Energia mecânica total (sem atrito) é a soma:
e para um oscilador harmônico sem perda de energia
é constante ao longo do tempo. Uma identidade útil é que, usando
e
,
Isso decorre de
e das formas de
e
.
Passo 6
Substituir
e
nas fórmulas para obter U(t), K(t) e E.
- Energia potencial como função do tempo:
- Energia cinética como função do tempo:
- Usando
as duas formas anteriores têm a mesma amplitude de energia total:
e a identidade trigonométrica
garante
para todo
.
Passo 7
Calcular os valores numéricos simplificados (expressões finais com números).
- Primeiro calcule
simbolicamente:
Como
e
, obtemos
Valor numérico aproximado:
- Portanto as expressões finais ficam simples em termos de
:
com
.
- Observação didática final: essas expressões mostram claramente a troca periódica entre energia cinética e potencial. Em instantes onde
(máximo deslocamento) temos , . Em instantes onde (passagem pela posição de equilíbrio) temos , .