Um sistema massa+mola realiza um movimento harmónico simples com amplitude A=3,5 cm e velocidade maxima V=26,0 cm / s. Qual é a velocidade V da massa quando a distens 5 o da mola for X=1,75 cm ?
(A) 12,0 cm / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um sistema massa-mola que faz um movimento harmônico simples (MHS). Sabemos que a amplitude desse movimento é A = 3,5, cm e a velocidade máxima que a massa atinge é Vmáx = 26,0, cm/sá. A pergunta quer saber qual é a velocidade V da massa quando a extensão da mola é X = 1,75, cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia no movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no MHS a energia total do sistema é a soma da energia cinética (de movimento) e da energia potencial (armazenada na mola). Essa energia total permanece constante durante todo o movimento.
A energia cinética ( Ec) é dada por:
Ec = 12 m V^2
E a energia potencial ( Ep) na mola é:
Ep = 12 k X^2
onde m é a massa, k é a constante da mola, e X é a extensão da mola.

Passo 3

Como a energia total é constante, podemos escrever:
Etotal = Ec, máx = 12 m Vmáx^2 áá
Isso porque a velocidade máxima ocorre quando a extensão X é zero, então toda a energia é cinética.
Igualando as energias:
12 m V^2 + 12 k X^2 = 12 m Vmáx^2 á

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 12:
m V^2 + k X^2 = m Vmáx^2 á
Agora, queremos encontrar V, então isolamos ele na equação:
V^2 = Vmáx^2 - km X^2 á

Passo 5

Sabemos que no movimento harmônico simples, a constante k e a massa m estão relacionadas com a frequência angular omega pela fórmula:
omega = raizkm
Então, podemos substituir km por omega^2:
V^2 = Vmáx^2 - omega^2 X^2 á

Passo 6

Mas também sabemos que a velocidade máxima é relacionada à amplitude e à frequência angular por:
Vmáx = omega A á
Daí, podemos encontrar omega:
omega = VmáxA á

Passo 7

Substituindo omega na equação da velocidade:
V^2 = Vmáx^2 - ( VmáxA )^2 X^2 áá
V^2 = Vmáx^2 ( 1 - X^2A^2 ) á

Passo 8

Agora, é só tirar a raiz quadrada dos dois lados para encontrar V:
V = Vmáx raiz1 - ( XA )^2 á

Passo 9

Vamos substituir os valores:
V = 26,0, cm/s times raiz1 - ( 1,75, cm3,5, cm )^2
V = 26,0, cm/s times raiz1 - ( 0,5 )^2
V = 26,0, cm/s times raiz1 - 0,25
V = 26,0, cm/s times raiz0,75
V approx 26,0, cm/s times 0,8660
V approx 22,5, cm/s

Resposta

A velocidade da massa quando a extensão da mola é 1,75, cm é aproximadamente 22,5, cm/s.

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