Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 2,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a:
  • 16 N/m; 1 kg; 2/π Hz. 8 N/m; 2 kg; 2/π Hz. 4 N/m; 0,5 kg; 4/π Hz. 4 N/m; 1 kg; 4/π Hz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um sistema massa-mola oscilante com:
  • Energia mecânica total de $ 2,0 , J $
  • Amplitude de oscilação de $ 0,5 , m $
  • Velocidade máxima de $ 2 , m/s $
Precisamos encontrar a constante da mola ($ k 2,0 , J m 0,5 , m ê f $) desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica em sistemas oscilatórios massa-mola e as relações entre a velocidade máxima, a amplitude e a constante da mola.

Passo 2

Vamos começar pela energia mecânica total ($ E $) de um sistema massa-mola, que é dada pela soma da energia potencial elástica e da energia cinética. Em um movimento harmônico simples, essa energia é constante e pode ser expressa por:
E
Onde:
  • $ E $ é a energia mecânica total
  • $ k $ é a constante da mola
  • $ A $ é a amplitude de oscilação
Como conhecemos $ E $ e $ A $, podemos isolar $ k $:
E = 12 k A^2
Substituindo os valores:
E

Passo 3

Agora, vamos encontrar a massa ($ m m á v_{max} $) em um sistema massa-mola é dada por:
vmax
Onde $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à frequência ($ f $) por:
vmax = A omega
Também sabemos que a energia mecânica pode ser expressa em termos da massa e da frequência:
omega
Mas já encontramos $ k $, e sabemos que:
f
Vamos usar a relação entre $ v_{max} $ e $ \omega $ para encontrar $ \omega $:
omega = 2pi f
Agora, usando $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $:
E = 12 m omega^2 A^2

Passo 4

Por fim, vamos determinar a frequência ($ f $) usando a relação entre $ \omega $ e $ f $:
f

Resposta

A constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a: 16 N/m; 1 kg; 2/π Hz.

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