Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecânica igual a 2,0 J, uma amplitude de oscilação 0,5 m e uma velocidade máxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a:
- 16 N/m; 1 kg; 2/π Hz. 8 N/m; 2 kg; 2/π Hz. 4 N/m; 0,5 kg; 4/π Hz. 4 N/m; 1 kg; 4/π Hz.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um sistema massa-mola oscilante com:
- Energia mecânica total de $ 2,0 , J $
- Amplitude de oscilação de $ 0,5 , m $
- Velocidade máxima de $ 2 , m/s $
Precisamos encontrar a constante da mola ($ k
m
f $) desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica em sistemas oscilatórios massa-mola e as relações entre a velocidade máxima, a amplitude e a constante da mola.
Passo 2
Vamos começar pela energia mecânica total ($ E $) de um sistema massa-mola, que é dada pela soma da energia potencial elástica e da energia cinética. Em um movimento harmônico simples, essa energia é constante e pode ser expressa por:
Onde:
- $ E $ é a energia mecânica total
- $ k $ é a constante da mola
- $ A $ é a amplitude de oscilação
Como conhecemos $ E $ e $ A $, podemos isolar $ k $:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a massa ($ m
v_{max} $) em um sistema massa-mola é dada por:
Onde $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à frequência ($ f $) por:
Também sabemos que a energia mecânica pode ser expressa em termos da massa e da frequência:
Mas já encontramos $ k $, e sabemos que:
Vamos usar a relação entre $ v_{max} $ e $ \omega $ para encontrar $ \omega $:
Agora, usando $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a frequência ($ f $) usando a relação entre $ \omega $ e $ f $:
Resposta
A constante da mola, a massa e a frequência são, respectivamente, iguais a: 16 N/m; 1 kg; 2/π Hz.