Nos sistemas abaixo, determine o valor de k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
x+y+z & =3 2 x+y+k z & =5 4 x+2 y+(k+1) z & =10

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
x+y+z = 3, 2x+y+kz =5, 4x+2y+(k+1)z =10
quanto ao número de soluções em função do parâmetro k.
O conteúdo usado será: determinante da matriz de coeficientes para identificar solução única e análise de posto (rank) para os casos de posto deficiente (infinitas ou nenhuma solução).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & k 4 & 2 & k+1
e calculamos seu determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & k2 & k+1 -1cdotdet2 & k4 & k+1 +1cdotdet2 & 14 & 2
Agora cada menor:
det1 & k2 & k+1 =1,(k+1)-2,k=1-k,
det2 & k4 & k+1 =2,(k+1)-4,k=2-2k,
det2 & 14 & 2 =2cdot2-4cdot1=0
Portanto
det(A)=(1-k)-(2-2k)+0 = k-1

Passo 3

Se det(A)neq0, o sistema é classificado como Cramer e tem exatamente uma solução. Logo
k-1neq0 implies kneq1
é a condição para uma única solução.

Passo 4

Para
Note que a terceira equação é o dobro da segunda, então o posto da matriz de coeficientes é 2. Subtraindo a primeira da segunda:
De . Como temos 2 equações independentes para 3 incógnitas, sobra um grau de liberdade e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 5

Para que não haja solução, precisaríamos que o posto da matriz aumentasse ao incluir o vetor de termos independentes (posto aumentado > posto da matriz de coeficientes). Mas quando kneq1 o sistema é determinado e quando k=1 ele é consistente (as equações se alinham). Logo não existe valor de k que torne o sistema impossível.

Resposta

(i) única solução para kneq1.
(ii) infinitas soluções para k=1.
(iii) nenhuma solução para nenhum valor de k.

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