Nos sistemas abaixo, determine o valor de para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema
x+y+z = 3, 2x+y+kz =5, 4x+2y+(k+1)z =10
quanto ao número de soluções em função do parâmetro k.
O conteúdo usado será: determinante da matriz de coeficientes para identificar solução única e análise de posto (rank) para os casos de posto deficiente (infinitas ou nenhuma solução).
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & k 4 & 2 & k+1
e calculamos seu determinante por desenvolvimento na primeira linha:
Se det(A)neq0, o sistema é classificado como Cramer e tem exatamente uma solução. Logo
k-1neq0 implies kneq1
é a condição para uma única solução.
Passo 4
Para
Note que a terceira equação é o dobro da segunda, então o posto da matriz de coeficientes é 2. Subtraindo a primeira da segunda:
De . Como temos 2 equações independentes para 3 incógnitas, sobra um grau de liberdade e o sistema tem infinitas soluções.
Passo 5
Para que não haja solução, precisaríamos que o posto da matriz aumentasse ao incluir o vetor de termos independentes (posto aumentado > posto da matriz de coeficientes). Mas quando kneq1 o sistema é determinado e quando k=1 ele é consistente (as equações se alinham). Logo não existe valor de k que torne o sistema impossível.
Resposta
(i) única solução para kneq1.
(ii) infinitas soluções para k=1.
(iii) nenhuma solução para nenhum valor de k.