Para quais valores de k o sistema de equações l(k-3) x+y=0 x+(k-3) y=0 tem infinitas soluções?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de duas equações em duas incógnitas x e y:
(k-3)x + y = 0, x + (k-3)y = 0
O conteúdo usado será Álgebra Linear (sistemas lineares), e sabemos que um sistema homogêneo tem infinitas soluções se e somente se o determinante da matriz dos coeficientes for zero, tornando a matriz singular e o posto menor que o número de incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = k-3 & 1 1 & k-3 , det(A) = (k-3),(k-3) - 1cdot1 = (k-3)^2 - 1

Passo 3

Para ter infinitas soluções precisamos de det(A)=0. Logo,
(k-3)^2 - 1 = 0 Longrightarrow (k-3)^2 = 1 Longrightarrow k-3 = pm1
Isso dá k-3 = 1 ou k-3 = -1, isto é k = 4 ou k = 2.

Passo 4

Em k=4 ou k=2 a matriz dos coeficientes fica singular e o sistema homogêneo admite infinitas soluções (o posto da matriz é 1, menor que 2).

Resposta

k = 2 ou k = 4

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