Para os sistemas lineares a seguir, proceda da seguinte forma:
(i) Aplique o Critério das linhas (fazendo permutações de linhas, caso necessário). Se este for satisfeito, use o método de Gauss-Jacobi para obter uma aproximação da solução.
(ii) Se o critério das linhas não for satisfeito, aplique o Critério de Sassenfeld (levando em conta permutações necessárias).
Se este for satisfeito, use o método de Gauss-Seidel para encontrar uma aproximação da solução.
Utilize como critério de parada varepsilon=0.05.
(b) [cccc4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4][lx1 x2 x3 x4]=[l1 1 1 1]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente olhar o sistema
$$
4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 x1x2x3x4 = 1111,
maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r|

varepsilon=0.05,
éâé\max_i\bigl|x_i{(k+1)}-x_i{(k)}\bigr|<\varepsilon=0.05.$$
Então precisamos:
  1. Verificar a dominância por linha.
  2. Se OK, aplicar Gauss-Jacobi do zero até parar em .

Passo 2

Critério das Linhas diz: em cada linha i, o valor |aii| tem que ser maior que a soma dos outros |aij|, jneq i. Vamos conferir:
  • Linha 1: |4| > |-1|+0+0 ;Rightarrow;4>1
  • Linha 2: |4| > |-1|+|-1|+0 ;Rightarrow;4>2
  • Linha 3: |4| > 0+|-1|+|-1| ;Rightarrow;4>2
  • Linha 4: |4| > 0+0+|-1| ;Rightarrow;4>1
    Como todas batem, podemos usar Gauss-Jacobi.

Passo 3

Gauss-Jacobi atualiza cada componente independente das outras no mesmo passo:
xi^(k+1) =1aiil(bi-sumjneq iaij,xj^(k)r)
Aqui isso vira
x1^(k+1)=tfrac14l(1 -(-1)x2^(k)r)=tfrac14l(1+x2^(k)r), x2^(k+1)=tfrac14l(1 -(-1)x1^(k) -(-1)x3^(k)r)=tfrac14l(1+x1^(k)+x3^(k)r), x3^(k+1)=tfrac14l(1 +x2^(k)+x4^(k)r), x4^(k+1)=tfrac14l(1 +x3^(k)r)
E escolhemos x^(0)=(0,0,0,0).

Passo 4

Iteração 1 ( k=0to1):
x1^(1)&=tfrac14(1+0)=0.25, & x2^(1)&=tfrac14(1+0+0)=0.25, x3^(1)&=tfrac14(1+0+0)=0.25, & x4^(1)&=tfrac14(1+0)=0.25
Diferença máxima =max|0.25-0|=0.25>0.05, continua.

Passo 5

Iteração 2 ( k=1to2):
x1^(2)&=tfrac14(1+0.25)=0.3125, & x2^(2)&=tfrac14(1+0.25+0.25)=0.375, x3^(2)&=tfrac14(1+0.25+0.25)=0.375, & x4^(2)&=tfrac14(1+0.25)=0.3125
Diferença máxima =max0.3125-0.25,,0.375-0.25=0.125>0.05, ainda longe.

Passo 6

Iteração 3 ( k=2to3):
x1^(3)&=tfrac14(1+0.375)=0.34375, & x2^(3)&=tfrac14(1+0.3125+0.375)=0.421875, x3^(3)&=tfrac14(1+0.375+0.3125)=0.421875, & x4^(3)&=tfrac14(1+0.375)=0.34375
Agora max|xi^(3)-xi^(2)|=max0.34375-0.3125,,0.421875-0.375=0.046875<0.05. Paramos aqui.

Resposta

Aproximação pelo Gauss-Jacobi com varepsilon=0.05 é
(x1,x2,x3,x4)approx(0.34375,;0.421875,;0.421875,;0.34375)

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