Das situaçc̃es abaixo indique quais v.a. tem distribuição binomial e quais tem distribuição hipergeométrica e justifique:
Um estudante faz um exame com 5 questões de múltipla escolha. Cada questão tem 4 opções possíveis para marcar. Considere que ele não sabe nada do conteúdo e defina a v.a. Y como o número de respostas corretas no exame.

Passo 1

Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede. A situação é:
  • Um estudante faz um exame com 5 questões de múltipla escolha.
  • Cada questão tem 4 opções, só 1 está certa.
  • Ele não sabe nada e chuta tudo.
  • Definimos a variável aleatória como o número de acertos no exame.
O conteúdo aqui é identificar se segue distribuição binomial ou hipergeométrica. Para isso, a gente vai precisar entender as características de cada distribuição:
  • Quando usar binomial?
  • Quando usar hipergeométrica?

Passo 2

Primeiro, a distribuição binomial aparece quando temos:
  1. Um número fixo de ensaios P(Y = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^n-k .
  2. Cada ensaio tem só dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso).
  3. A probabilidade de sucesso é a mesma em cada ensaio.
  4. Os ensaios são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
A fórmula da binomial para a probabilidade de exatamente sucessos em ensaios é:

Passo 3

Já a distribuição hipergeométrica surge quando:
  1. Você retira P(Y = k) ;=; binomKk,binomN-Kn-kbinomNn itens de uma população finita de tamanho sem reposição.
  2. Na população há exatamente itens “sucesso” e itens “fracasso”.
  3. Quer saber a probabilidade de tirar exatamente sucessos nessas retiradas.
A fórmula hipergeométrica é:

Passo 4

Agora, vamos ver o nosso exame:
  • Temos questões (ensaios fixos).
  • Cada questão dá certo (sucesso) ou errado (fracasso) – só dois resultados.
  • A probabilidade de acertar chutando é sempre , igual para todas as questões.
  • Cada chute não interfere no próximo, ou seja, as questões são independentes.
Isso bate direitinho com os 4 requisitos da binomial, e não é um caso de retirar da população sem reposição (não tem grupo finito de cartões sendo sorteado).

Resposta

A variável Y sim Binl(n=5,;p=tfrac14r) segue distribuição binomial com parâmetros e , ou seja,

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