Das situaçc̃es abaixo indique quais v.a. tem distribuição binomial e quais tem distribuição hipergeométrica e justifique:
Um estudante faz um exame com 5 questões de múltipla escolha. Cada questão tem 4 opções possíveis para marcar. Considere que ele não sabe nada do conteúdo e defina a v.a.
como o número de respostas corretas no exame.
Um estudante faz um exame com 5 questões de múltipla escolha. Cada questão tem 4 opções possíveis para marcar. Considere que ele não sabe nada do conteúdo e defina a v.a.
Passo 1
Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede. A situação é:
- Um estudante faz um exame com 5 questões de múltipla escolha.
- Cada questão tem 4 opções, só 1 está certa.
- Ele não sabe nada e chuta tudo.
- Definimos a variável aleatória
como o número de acertos no exame.
O conteúdo aqui é identificar se
segue distribuição binomial ou hipergeométrica. Para isso, a gente vai precisar entender as características de cada distribuição:
- Quando usar binomial?
- Quando usar hipergeométrica?
Passo 2
Primeiro, a distribuição binomial aparece quando temos:
- Um número fixo de ensaios
. - Cada ensaio tem só dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso).
- A probabilidade de sucesso
é a mesma em cada ensaio. - Os ensaios são independentes (o resultado de um não afeta o outro).
A fórmula da binomial para a probabilidade de exatamente
sucessos em
ensaios é:
Passo 3
Já a distribuição hipergeométrica surge quando:
- Você retira
itens de uma população finita de tamanho sem reposição. - Na população há exatamente
itens “sucesso” e itens “fracasso”. - Quer saber a probabilidade de tirar exatamente
sucessos nessas retiradas.
A fórmula hipergeométrica é:
Passo 4
Agora, vamos ver o nosso exame:
- Temos
questões (ensaios fixos). - Cada questão dá certo (sucesso) ou errado (fracasso) – só dois resultados.
- A probabilidade de acertar chutando é sempre
, igual para todas as questões. - Cada chute não interfere no próximo, ou seja, as questões são independentes.
Isso bate direitinho com os 4 requisitos da binomial, e não é um caso de retirar da população sem reposição (não tem grupo finito de cartões sendo sorteado).
Resposta
A variável
segue distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja,