Sob a ação de duas forças, uma partícula de massa m se move com velocidade constante \vec{v}=v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}. Uma das forças e \vec{F}=F_{x} \hat{i}+F_{y} \hat{j}. Qual é a outra?
(a) -F_{x} \hat{i}-F_{y} \hat{j}.
(b) m\left[\left(d v_{x} / d t\right) \hat{i}-\left(d v_{y} / d t\right) \hat{j}\right].
(c) 2 F_{x} \hat{i}+2 F_{y} \hat{j}.
(d) F_{x} \hat{i}+F_{y} \hat{j}.
(e) -m(d \vec{v} / d t).

Passo 1

Dados do enunciado:
Uma partícula de massa \(m) move-se com velocidade constante \(\vec{v}=v_{x}\hat{i}+v_{y}\hat{j}).
Sob ação de duas forças; uma delas é \(\vec{F}=F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}).
Pergunta: Qual é a outra força (entre as alternativas dadas)?

Passo 2

Conceito importante (aqui eu te explico passo a passo): a segunda lei de Newton relaciona força resultante, massa e aceleração. A fórmula é
\sum \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}.
Explicando cada coisa: \sum \vec{F} é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre a partícula; \(m) é a massa (número escalar); \frac{d\vec{v}}{dt} é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é, a aceleração \vec{a}. Essa equação diz: massa vezes aceleração = força resultante.

Passo 3

Usando a informação do enunciado: a velocidade é constante. Isso significa que cada componente da velocidade não muda no tempo. Então
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{0}.
Explicando com calma: se \vec{v} não muda, a taxa de variação dela é zero — a aceleração é o vetor nulo.

Passo 4

Substituindo na segunda lei:
\sum \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{0}=\vec{0}.
Portanto a soma vetorial de todas as forças que atuam na partícula é zero. Como há exatamente duas forças, \vec{F} e a outra força que vou chamar de \vec{F}_{2}, temos
\vec{F}+\vec{F}_{2}=\vec{0}.

Passo 5

Isolando \vec{F}_{2} na equação anterior:
\vec{F}_{2}=-\vec{F}.
Agora escrevemos isso em componentes, usando \vec{F}=F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}:
\vec{F}_{2}=-\bigl(F_{x}\hat{i}+F_{y}\hat{j}\bigr)=-F_{x}\hat{i}-F_{y}\hat{j}.
Interpretação prática: a outra força tem mesma intensidade em cada componente, mas sentido oposto — assim as duas forças se cancelam e a resultante é zero.

Passo 6

Conferindo com as alternativas: a alternativa (a) é -F_{x}\hat{i}-F_{y}\hat{j}, que coincide com o que encontramos.
As outras alternativas não batem com \vec{F}_{2}=-\vec{F}: (b) e (e) envolvem derivadas de \vec{v} (que aqui valem zero), (c) e (d) são múltiplos ou iguais a \vec{F} e não levariam à soma nula, então estão erradas.

Resposta

(a) -F_{x}\hat{i}-F_{y}\hat{j}

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