Sob condições ideais, sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:
(a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
(b) Qual o tamanho da população após t horas?
(c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
(d) Traçe o gráfico da função população.
(e) Estime o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
(f) Encontre a função inversa da função população.
(g) Explique o significado da inversa da função população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que dobra a cada 3 horas, começando com 100 bactérias. Vamos usar conceitos de funções exponenciais para resolver as partes (a) até (g) desse exercício. Precisaremos entender como aplicar a fórmula de crescimento exponencial e manipular funções para encontrar respostas específicas.

Passo 2

Para a parte (a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
Primeiro, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:
P(t) = P0 times 2^th
Onde:
  • P(t) é a população após t horas,
  • P0 é a população inicial (100 bactérias),
  • h é o tempo que leva para a população dobrar (3 horas),
  • t é o tempo decorrido.
Vamos substituir os valores:
P(15) = 100 times 2^153 = 100 times 2^5
Sabemos que 2^5 = 32 , então:
P(15) = 100 times 32 = 3200

Passo 3

Para a parte (b) Qual o tamanho da população após t horas?
Já temos a fórmula geral:
P(t) = 100 times 2^t3
Essa é a função que nos dá o tamanho da população para qualquer valor de t .

Passo 4

Para a parte (c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
Usando a mesma fórmula:
P(20) = 100 times 2^203 = 100 times 2^66
Calculando 2^6.666 :
Primeiro, 2^6 = 64 e 2^0.666 = raiz2^1.333 approx 1.6
Então:
P(20) approx 100 times 64 times 1.6 = 100 times 102.4 = 10.240

Passo 5

Para a parte (d) Traçar o gráfico da função população.
Vamos plotar . Escolheremos alguns valores de e calcularemos :
Plotando esses pontos em um gráfico com no eixo horizontal e no eixo vertical, teremos uma curva exponencial crescente.

Passo 6

Para a parte (e) Estimar o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
Vamos usar a fórmula e resolver para t :
50.000 = 100 times 2^t3
Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
500 = 2^t3
Aplicando o logaritmo na base 2:
log2500 = t3
Calculando log2500 approx 8.966 :
t3 approx 8.966 Rightarrow t approx 8.966 times 3 approx 26.899 horas
Arredondando, aproximadamente 26,9 horas.

Passo 7

Para a parte (f) Encontrar a função inversa da função população.
A função dada é:
P(t) = 100 times 2^t3
Queremos encontrar t em termos de P , ou seja, t = f^-1(P) .
Vamos resolver para t :
P = 100 times 2^t3 P100 = 2^t3 log2( P100 ) = t3 t = 3 times log2( P100 )
Então, a função inversa é:
f^-1(P) = 3 times log2( P100 )

Passo 8

Para a parte (g) Explicar o significado da inversa da função população.
A função inversa f^-1(P) nos diz quanto tempo t leva para a população atingir um determinado número de bactérias P . Ou seja, dado um tamanho da população, a função inversa calcula quantas horas foram necessárias para chegar a esse número a partir das 100 bactérias iniciais.

Resposta

A inversa da função população nos mostra quanto tempo é necessário para a população de bactérias alcançar um determinado tamanho. Ou seja, dado um número de bactérias, ela calcula em quantas horas a população atingiu esse número a partir das 100 iniciais.

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