Sob condições ideais, sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:
(a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
(b) Qual o tamanho da população após
horas?
(c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
(d) Traçe o gráfico da função população.
(e) Estime o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
(f) Encontre a função inversa da função população.
(g) Explique o significado da inversa da função população.
(a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
(b) Qual o tamanho da população após
(c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
(d) Traçe o gráfico da função população.
(e) Estime o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
(f) Encontre a função inversa da função população.
(g) Explique o significado da inversa da função população.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que dobra a cada 3 horas, começando com 100 bactérias. Vamos usar conceitos de funções exponenciais para resolver as partes (a) até (g) desse exercício. Precisaremos entender como aplicar a fórmula de crescimento exponencial e manipular funções para encontrar respostas específicas.
Passo 2
Para a parte (a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
Primeiro, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
-
é a população após horas, -
é a população inicial (100 bactérias), -
é o tempo que leva para a população dobrar (3 horas), -
é o tempo decorrido.
Vamos substituir os valores:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Para a parte (b) Qual o tamanho da população após
horas?
Já temos a fórmula geral:
Essa é a função que nos dá o tamanho da população para qualquer valor de
.
Passo 4
Para a parte (c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
Usando a mesma fórmula:
Calculando
:
Primeiro,
e
Então:
Passo 5
Para a parte (d) Traçar o gráfico da função população.
Vamos plotar
. Escolheremos alguns valores de
e calcularemos
:
Plotando esses pontos em um gráfico com
no eixo horizontal e
no eixo vertical, teremos uma curva exponencial crescente.
Passo 6
Para a parte (e) Estimar o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
Vamos usar a fórmula e resolver para
:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo na base 2:
Calculando
:
Arredondando, aproximadamente 26,9 horas.
Passo 7
Para a parte (f) Encontrar a função inversa da função população.
A função dada é:
Queremos encontrar
em termos de
, ou seja,
.
Vamos resolver para
:
Então, a função inversa é:
Passo 8
Para a parte (g) Explicar o significado da inversa da função população.
A função inversa
nos diz quanto tempo
leva para a população atingir um determinado número de bactérias
. Ou seja, dado um tamanho da população, a função inversa calcula quantas horas foram necessárias para chegar a esse número a partir das 100 bactérias iniciais.
Resposta
A inversa da função população nos mostra quanto tempo é necessário para a população de bactérias alcançar um determinado tamanho. Ou seja, dado um número de bactérias, ela calcula em quantas horas a população atingiu esse número a partir das 100 iniciais.