Sobre uma circunferência são indicados 6 pontos distintos:
a) Quantos segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos podem ser traçados?
b) Tendo três desses pontos como vértice, quantos triângulos podem ser formados?
a) Quantos segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos podem ser traçados?
b) Tendo três desses pontos como vértice, quantos triângulos podem ser formados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma circunferência onde temos 6 pontos diferentes marcados. Precisamos resolver duas coisas:
a) Descobrir quantos segmentos de reta podemos desenhar ligando dois desses pontos.
b) Ver quantos triângulos podemos formar usando três desses pontos como vértices.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente combinações, que nos ajudam a contar de quantas formas podemos selecionar itens de um conjunto sem se preocupar com a ordem.
Passo 2
Parte a: Quantos segmentos de reta podem ser traçados?
Aqui, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 2 pontos entre os 6 para formar um segmento de reta. Como a ordem dos pontos não importa (ou seja, escolher o ponto A e depois o B é a mesma coisa que escolher o B e depois o A), usamos combinações.
A fórmula para combinações de 6 elementos tomados 2 a 2 é:
Vamos calcular:
Então, podemos desenhar 15 segmentos de reta diferentes.
Passo 3
Parte b: Quantos triângulos podem ser formados?
Agora, queremos formar triângulos usando 3 pontos dentre os 6 disponíveis. Assim como antes, a ordem não importa (escolher os pontos A, B, C é o mesmo que C, A, B, etc.), então usamos combinações novamente.
A fórmula para combinações de 6 elementos tomados 3 a 3 é:
Vamos calcular:
Portanto, podemos formar 20 triângulos diferentes.
Resposta
a) 15 segmentos de reta podem ser traçados.
b) 20 triângulos podem ser formados.