Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-3,1);
  • a excentricidade é igual a 0.6 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo Ox;
  • o ponto (0,4) pertence a E.
    Complete:
    As coordenadas dos focos são:

Passo 1

O enunciado descreve uma elipse com centro em (-3,1), excentricidade e=0,6 e eixo maior paralelo ao eixo Ox. Para achar os focos precisamos da distância c do centro a cada foco, e sabemos que c=ae, onde a é o semi-eixo maior. Também vamos usar a relação do semi-eixo menor b com a e e:
b^2 = a^2l(1-e^2r)

Passo 2

Escrevemos a equação canônica da elipse (eixo maior horizontal) deslocada para o centro (-3,1):
(x+3)^2a^2 + (y-1)^2b^2 = 1
Substituímos b^2 = a^2(1-0,6^2)=a^2cdot0,64.

Passo 3

Como o ponto (0,4) pertence à elipse, ele satisfaz
(0+3)^2a^2 + (4-1)^20,64,a^2 = 1 Longrightarrow 9a^2 + 90,64,a^2 = 1
Fatorando tfrac9a^2:
9a^2l(1 + tfrac10,64r) = 1 Longrightarrow 9a^2cdot4116 = 1 Longrightarrow a^2 = 9cdot4116 = 36916

Passo 4

Logo
a = 3raiz414, c = ae = 0,6,a = 3raiz414cdot35 = 9raiz4120

Passo 5

Como o eixo maior é horizontal, os focos estão em (x,y) = (-3pm c,,1). Substituindo c obtemos:
F1 = l(-3 - tfrac9raiz4120,,1r), F2 = l(-3 + tfrac9raiz4120,,1r)

Resposta

l(-3 - tfrac9raiz4120,,1r) e l(-3 + tfrac9raiz4120,,1r)

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