Verifique se a função, ou as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+4 y=0, t>0 ; y1(t)=t^-2, y2(t)=t^-2 ln t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0 para t > 0 . A gente precisa verificar se as funções y1(t) = t^-2 e y2(t) = t^-2 ln t são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas de cada função e substituir na equação diferencial para ver se iguala a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função, y1(t) = t^-2 .
Primeiro, calculamos a primeira derivada y1'(t) :
y1'(t) = ddt (t^-2) = -2 t^-3
Depois, a segunda derivada y1''(t) :
y1''(t) = ddt (-2 t^-3) = 6 t^-4
Agora, vamos substituir y1(t) , y1'(t) e y1''(t) na equação diferencial:
t^2 cdot 6 t^-4 + 5 t cdot (-2 t^-3) + 4 cdot t^-2
Simplificando cada termo:
6 t^-2 - 10 t^-2 + 4 t^-2 = (6 - 10 + 4) t^-2 = 0
Isso significa que y1(t) satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda função, y2(t) = t^-2 ln t .
Primeiro, a primeira derivada y2'(t) usando a regra do produto:
y2'(t) = ddt (t^-2 ln t) = -2 t^-3 ln t + t^-3
Simplificando:
y2'(t) = t^-3 (1 - 2 ln t)
Agora, a segunda derivada y2''(t) :
y2''(t) = ddt (t^-3 (1 - 2 ln t)) = -3 t^-4 (1 - 2 ln t) + t^-4 cdot (-2)
Simplificando:
y2''(t) = t^-4 (-3 + 6 ln t - 2) = t^-4 (-5 + 6 ln t)
Agora, substituindo y2(t) , y2'(t) e y2''(t) na equação diferencial:
t^2 cdot t^-4 (-5 + 6 ln t) + 5 t cdot t^-3 (1 - 2 ln t) + 4 cdot t^-2 ln t
Simplificando cada termo:
t^-2 (-5 + 6 ln t) + 5 t^-2 (1 - 2 ln t) + 4 t^-2 ln t
Distribuindo:
-5 t^-2 + 6 t^-2 ln t + 5 t^-2 - 10 t^-2 ln t + 4 t^-2 ln t
Somando os termos semelhantes:
(-5 + 5) t^-2 + (6 - 10 + 4) t^-2 ln t = 0 t^-2 + 0 t^-2 ln t = 0
Isso mostra que y2(t) também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Ambas as funções y1(t) = t^-2 e y2(t) = t^-2 ln t são soluções da equação diferencial t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0 para t > 0 .

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