Verifique se a função, ou as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 ; y1(x)=x^2, y2(x)=x^3 e y3(x)=e^-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções dadas são soluções da seguinte equação diferencial:
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0
Para resolver isso, vamos precisar conhecer cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções e como substituí-las em equações diferenciais. Vamos verificar cada função uma por uma para ver se elas satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos testar a função y1(x) = x^2 .
Passo 2.1: Calculamos a primeira derivada de y1 :
y1'(x) = ddx(x^2) = 2x
Passo 2.2: Calculamos a segunda derivada de y1 :
y1''(x) = ddx(2x) = 2
Passo 2.3: Substituímos y1 , y1' e y1'' na equação diferencial:
(x+3)(2) + (x+2)(2x) - x^2 = 2x + 6 + 2x^2 + 4x - x^2 = x^2 + 6x + 6
Como x^2 + 6x + 6 neq 0 , a função y1(x) = x^2 não é solução da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos verificar a função y2(x) = x^3 .
Passo 3.1: Calculamos a primeira derivada de y2 :
y2'(x) = ddx(x^3) = 3x^2
Passo 3.2: Calculamos a segunda derivada de y2 :
y2''(x) = ddx(3x^2) = 6x
Passo 3.3: Substituímos y2 , y2' e y2'' na equação diferencial:
(x+3)(6x) + (x+2)(3x^2) - x^3 = 6x^2 + 18x + 3x^3 + 6x^2 - x^3 = 2x^3 + 12x^2 + 18x
Como 2x^3 + 12x^2 + 18x neq 0 , a função y2(x) = x^3 não é solução da equação diferencial.

Passo 4

Por último, vamos examinar a função y3(x) = e^-x .
Passo 4.1: Calculamos a primeira derivada de y3 :
y3'(x) = ddx(e^-x) = -e^-x
Passo 4.2: Calculamos a segunda derivada de y3 :
y3''(x) = ddx(-e^-x) = e^-x
Passo 4.3: Substituímos y3 , y3' e y3'' na equação diferencial:
(x+3)(e^-x) + (x+2)(-e^-x) - e^-x = (x+3 - x -2 -1)e^-x = 0
Como a expressão resultante é igual a zero, a função y3(x) = e^-x é uma solução da equação diferencial.

Resposta

Apenas a função y3(x) = e^-x é solução da equação diferencial dada.

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