Sobre a função
Vale:
As derivadas parciais de
não existem no ponto
.
As derivadas parciais de
Passo 1
Aqui o objetivo é checar se as derivadas parciais de
em
existem. O conteúdo é definição de derivada parcial para funções de duas variáveis, e vamos usar o limite clássico
.
Passo 2
Para a derivada parcial em
em
usamos a definição
Como
e
, o quociente é sempre
, logo o limite existe e vale
.
Passo 3
Para a derivada parcial em
em
fazemos o análogo
Aqui
, de modo que o quociente também é
. O limite existe e vale
.
Passo 4
Concluímos que ambas as derivadas parciais em
existem e são iguais a
. Portanto, a afirmação de que “as derivadas parciais não existem em
” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa: as derivadas parciais existem em
e valem
.