Sobre a função
f(x, y)= x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Vale:
As derivadas parciais de f não existem no ponto (0,0).

Passo 1

Aqui o objetivo é checar se as derivadas parciais de f em (0,0) existem. O conteúdo é definição de derivada parcial para funções de duas variáveis, e vamos usar o limite clássico f(ponto+incremento)-f(ponto)incremento.

Passo 2

Para a derivada parcial em x em (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=hcdot0h^2+0^2=0 e f(0,0)=0, o quociente é sempre 0/h=0, logo o limite existe e vale 0.

Passo 3

Para a derivada parcial em y em (0,0) fazemos o análogo
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
Aqui f(0,k)=0cdot k0^2+k^2=0, de modo que o quociente também é 0/k=0. O limite existe e vale 0.

Passo 4

Concluímos que ambas as derivadas parciais em (0,0) existem e são iguais a 0. Portanto, a afirmação de que “as derivadas parciais não existem em (0,0)” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa: as derivadas parciais existem em (0,0) e valem 0.

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