Sobre uma matriz A com \operatorname{det}(A)=10^{4}, é necessariamente verdadeiro afirmar que:
Escolha uma opção:
a. A admitirá as decomposições A=L U, P A=L U e A=L L^{T}.
b. Os sistemas A x=b, A^{-1} y=c e A^{T} z=d possuem, cada um, uma única solução.
c. A^{-1} é malcondicionada.
d. \operatorname{det}\left(A^{T}\right)=10^{-4}.
e. \quad A e A^{T} são bem-condicionadas.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A tal que \det(A)=10^{4}. O conteúdo envolvido é teoria de determinantes, inversibilidade de matrizes, existência e unicidade de soluções em sistemas lineares, decomposição LU e condicionamento de matrizes. Como \det(A)\neq0, saberemos que A é invertível.

Passo 2

Como \det(A)\neq0, concluímos que:
A\text{ é invertível,}éí
ou seja, existe A^{-1}. Além disso,
\det(A^T)=\det(A)\neq0,
logo A^T também é invertível.

Passo 3

Em teoria de sistemas lineares, se o coeficiente é uma matriz invertível, qualquer sistema
M\,x = v
tem exatamente uma solução, que é x = M^{-1}v. Aqui temos:
  • A\,x=b com coeficiente A invertível ⇒ única solução x=A^{-1}b.
  • A^{-1}y=c com coeficiente A^{-1} invertível ⇒ única solução y=A\,c.
  • A^T z=d com coeficiente A^T invertível ⇒ única solução z=(A^T)^{-1}d.

Passo 4

Verificamos as demais opções:
  • (a) Requer decomposição A=LL^T (só para simétricas definidas positivas) e LU sem permutações (nem sempre pode);
  • (c) Condicionamento não se determina só por \det(A);
  • (d) \det(A^T)=\det(A)=10^4, não 10^{-4};
  • (e) “Bem-condicionadas” não se infere apenas de \det(A).

Resposta

b. Os sistemas A x=b, A^{-1} y=c e A^{T} z=d possuem, cada um, uma única solução.

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