Sobre uma matriz
com
, é necessariamente verdadeiro afirmar que:
Escolha uma opção:
a.
admitirá as decomposições
e
.
b. Os sistemas
e
possuem, cada um, uma única solução.
c.
é malcondicionada.
d.
.
e.
e
são bem-condicionadas.
a.
b. Os sistemas
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
tal que
. O conteúdo envolvido é teoria de determinantes, inversibilidade de matrizes, existência e unicidade de soluções em sistemas lineares, decomposição LU e condicionamento de matrizes. Como
, saberemos que
é invertível.
Passo 2
Como
, concluímos que:
ou seja, existe
. Além disso,
logo
também é invertível.
Passo 3
Em teoria de sistemas lineares, se o coeficiente é uma matriz invertível, qualquer sistema
tem exatamente uma solução, que é
. Aqui temos:
-
com coeficiente invertível ⇒ única solução . -
com coeficiente invertível ⇒ única solução . -
com coeficiente invertível ⇒ única solução .
Passo 4
Verificamos as demais opções:
- (a) Requer decomposição
(só para simétricas definidas positivas) e LU sem permutações (nem sempre pode); - (c) Condicionamento não se determina só por
; - (d)
, não ; - (e) “Bem-condicionadas” não se infere apenas de
.
Resposta
b. Os sistemas
,
e
possuem, cada um, uma única solução.