Sobre a resolução de um sistema de equações lineares A x=b de ordem 42 pela decomposição L U, é falso afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Se A for não singular e b=\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right]^{T}, então x será a primeira coluna de A^{-1}.
b. A pivotação parcial impõe que, durante a eliminação de Gauss, as linhas pivotais sejam multiplicadas por escalares cujos módulos são, no máximo, 1 .
c. O sistema equivalente U x=y é o mesmo obtido pela eliminação de Gauss tradicional (sem memória das operações realizadas).
d. As substituições sucessivas e retroativas requerem mais operações aritméticas que a decomposição de A.
e. Para uma maior exatidão, pode-se adicionar à solução x_{\approx} obtida numericamente o vetor c que é solução do sistema A c=b-A x_{\approx}

Passo 1

O enunciado trata da resolução de um sistema linear A x = b de ordem 42 usando a decomposição LU. Precisamos avaliar a veracidade de cada afirmação relativa a: relação com A^{-1}, pivotação parcial, equivalência com eliminação de Gauss tradicional, contagem de operações em substituições versus decomposição, e refinamento iterativo.

Passo 2

Análise da opção (a): se A for não singular e
b = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}^T,
então a solução x = A^{-1}b é exatamente a primeira coluna de A^{-1}. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Análise da opção (b): na pivotação parcial, ao escolher o pivô maior em módulo na coluna, os multiplicadores
m_{ik} = \frac{a_{ik}}{a_{kk}}
satisfazem \lvert m_{ik}\rvert \le 1. Portanto, a opção (b) é verdadeira.

Passo 4

Análise da opção (c): ao fatorar A = LU e resolver Ly=b seguido de Ux=y, obtém-se exatamente o mesmo sistema triangular Ux=y que se produziria aplicando a eliminação de Gauss tradicional (sem guardar matrizes L e U). Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Análise da opção (d): o custo da decomposição LU em ponto flutuante é da ordem de O(n^3) (aproximadamente \tfrac{n^3}{3} operações), enquanto as substituições para resolver Ly=b e depois Ux=y custam O(n^2). Dizer que as substituições requerem mais operações do que a decomposição é incorreto. Portanto, a opção (d) é falsa.

Passo 6

Análise da opção (e): o método de refinamento iterativo calcula o resíduo r = b - A x_{\approx}, resolve A c = r para obter a correção c e atualiza x\leftarrow x_{\approx}+c, melhorando a precisão. Assim, (e) é verdadeira.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados