Sobre a resolução de um sistema de equações lineares
de ordem 42 pela decomposição
, é falso afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Se
for não singular e
, então
será a primeira coluna de
.
b. A pivotação parcial impõe que, durante a eliminação de Gauss, as linhas pivotais sejam multiplicadas por escalares cujos módulos são, no máximo, 1 .
c. O sistema equivalente
é o mesmo obtido pela eliminação de Gauss tradicional (sem memória das operações realizadas).
d. As substituições sucessivas e retroativas requerem mais operações aritméticas que a decomposição de
.
e. Para uma maior exatidão, pode-se adicionar à solução
obtida numericamente o vetor
que é solução do sistema
a. Se
b. A pivotação parcial impõe que, durante a eliminação de Gauss, as linhas pivotais sejam multiplicadas por escalares cujos módulos são, no máximo, 1 .
c. O sistema equivalente
d. As substituições sucessivas e retroativas requerem mais operações aritméticas que a decomposição de
e. Para uma maior exatidão, pode-se adicionar à solução
Passo 1
O enunciado trata da resolução de um sistema linear
de ordem 42 usando a decomposição
. Precisamos avaliar a veracidade de cada afirmação relativa a: relação com
, pivotação parcial, equivalência com eliminação de Gauss tradicional, contagem de operações em substituições versus decomposição, e refinamento iterativo.
Passo 2
Análise da opção (a): se
for não singular e
então a solução
é exatamente a primeira coluna de
. Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Análise da opção (b): na pivotação parcial, ao escolher o pivô maior em módulo na coluna, os multiplicadores
satisfazem
. Portanto, a opção (b) é verdadeira.
Passo 4
Análise da opção (c): ao fatorar
e resolver
seguido de
, obtém-se exatamente o mesmo sistema triangular
que se produziria aplicando a eliminação de Gauss tradicional (sem guardar matrizes
e
). Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Análise da opção (d): o custo da decomposição
em ponto flutuante é da ordem de
(aproximadamente
operações), enquanto as substituições para resolver
e depois
custam
. Dizer que as substituições requerem mais operações do que a decomposição é incorreto. Portanto, a opção (d) é falsa.
Passo 6
Análise da opção (e): o método de refinamento iterativo calcula o resíduo
, resolve
para obter a correção
e atualiza
, melhorando a precisão. Assim, (e) é verdadeira.
Resposta
(d)