Sobre os métodos de eliminação, é falso afirmar que:
Escolha uma opção:
a. Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo vetor solução.
b. Os erros de arredondamento podem ser reduzidos pela pivotação parcial.
c. Os determinantes das matrizes de dois sistemas equivalentes são iguais.
d. A pivotação parcial nem sempre evita o pivô nulo.
e. Operações I-elementares permitem transformar um sistema linear em outro triangular inferior.
a. Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo vetor solução.
b. Os erros de arredondamento podem ser reduzidos pela pivotação parcial.
c. Os determinantes das matrizes de dois sistemas equivalentes são iguais.
d. A pivotação parcial nem sempre evita o pivô nulo.
e. Operações I-elementares permitem transformar um sistema linear em outro triangular inferior.
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das afirmações sobre métodos de eliminação é falsa. O tema envolve equivalência de sistemas lineares, efeitos das operações elementares sobre determinantes, e pivotação parcial.
Passo 2
Verificamos cada afirmação:
- (a) Por definição, dois sistemas são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Logo, (a) é verdadeira.
- (b) A pivotação parcial reduz o risco de usar pivôs muito pequenos e, assim, diminui erros de arredondamento, portanto (b) é verdadeira.
- (d) Mesmo fazendo pivotação parcial, se toda a coluna corrente for zero ou tiver apenas zeros abaixo, o pivô pode ser zero. Então (d) é verdadeira.
- (e) As operações I-elementares (troca de equações, escala e combinação linear) permitem levar a matriz do sistema a uma forma triangular (seja superior ou inferior) por eliminação, logo (e) é verdadeira.
Passo 3
Na afirmação (c) diz-se que “os determinantes das matrizes de dois sistemas equivalentes são iguais”. Mas cada operação elementar corresponde a multiplicar a matriz por uma matriz elementar cujo determinante pode ser diferente de 1 (troca de linhas muda o sinal, escala por
multiplica por
). Portanto o determinante pode mudar, e não permanece igual.
Resposta
(c)