Sobre uma mesma trajetória, dois móveis Ae B se movimentam obedecendo às funçcoes horárias:
e
. Determine:
b) onde, na trajetória, ocorrem os cruzamentos dos móveis.
b) onde, na trajetória, ocorrem os cruzamentos dos móveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois móveis, o A e o B, que estão se movendo numa mesma trajetória. As posições deles em função do tempo são dadas por:
O conteúdo que vamos usar aqui é da Cinemática, especificamente sobre funções horárias de posição. Para descobrir onde os móveis se cruzam, a gente precisa encontrar o ponto na trajetória onde as posições deles são iguais. Ou seja, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas funções horárias para encontrar o tempo
em que os móveis se cruzam:
Agora, vamos reorganizar essa equação para ela ficar igual a zero, assim a gente resolve uma equação do segundo grau:
Simplificando:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula geral para resolver
é:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante
:
Como
é positivo, temos duas soluções reais para
:
Passo 4
Calculando as duas possibilidades:
- Para o sinal positivo:
- Para o sinal negativo:
Então, os móveis se cruzam em dois instantes: aos 2,5 segundos e aos 5 segundos.
Passo 5
Agora, vamos descobrir onde na trajetória isso acontece, ou seja, qual a posição
correspondente a esses tempos. Vamos usar a função horária de qualquer um dos móveis (por exemplo, a do A):
Para
segundos:
Para
segundos:
Resposta
Os móveis A e B se cruzam na trajetória nas posições 40 e 90 unidades de medida.