Sobre uma mesma trajetória, dois móveis Ae B se movimentam obedecendo às funçcoes horárias: SA=-10+20 t e SB=15+5 t+2 t^2(SI). Determine:
b) onde, na trajetória, ocorrem os cruzamentos dos móveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois móveis, o A e o B, que estão se movendo numa mesma trajetória. As posições deles em função do tempo são dadas por:
SA = -10 + 20t
SB = 15 + 5t + 2t^2
O conteúdo que vamos usar aqui é da Cinemática, especificamente sobre funções horárias de posição. Para descobrir onde os móveis se cruzam, a gente precisa encontrar o ponto na trajetória onde as posições deles são iguais. Ou seja, onde SA = SB.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas funções horárias para encontrar o tempo t em que os móveis se cruzam:
-10 + 20t = 15 + 5t + 2t^2
Agora, vamos reorganizar essa equação para ela ficar igual a zero, assim a gente resolve uma equação do segundo grau:
2t^2 + 5t + 15 + 10 - 20t = 0
Simplificando:
2t^2 -15t + 25 = 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática 2t^2 -15t +25 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. A fórmula geral para resolver ax^2 + bx + c = 0 é:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 2, b = -15 e c = 25. Vamos calcular o discriminante De:
De
Como De é positivo, temos duas soluções reais para t:
t = 15 pm raiz254 = 15 pm 54

Passo 4

Calculando as duas possibilidades:
  1. Para o sinal positivo:
t = 15 + 54 = 204 = 5 segundos
  1. Para o sinal negativo:
t = 15 - 54 = 104 = 2,5 segundos
Então, os móveis se cruzam em dois instantes: aos 2,5 segundos e aos 5 segundos.

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde na trajetória isso acontece, ou seja, qual a posição S correspondente a esses tempos. Vamos usar a função horária de qualquer um dos móveis (por exemplo, a do A):
Para t = 2,5 segundos:
SA = -10 + 20 times 2,5 = -10 + 50 = 40 (unidade de medida)
Para t = 5 segundos:
SA = -10 + 20 times 5 = -10 + 100 = 90 (unidade de medida)

Resposta

Os móveis A e B se cruzam na trajetória nas posições 40 e 90 unidades de medida.

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