Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Devemos aplicar eliminação de Gauss mantendo, em cada etapa, a pivotação parcial: isto é, na coluna atual escolher como pivô o elemento com maior valor absoluto entre as linhas ainda por eliminar, e trocar as linhas se necessário.
A saída final deve ser a solução numérica (x_{1},x_{2},x_{3}).]
Passo 2
Explico rapidamente a ideia prática da eliminação com pivotação parcial (sem jargões): em cada coluna k (começando por k=1), eu escolho como pivô o elemento com maior valor absoluto entre as linhas k,k+1,\dots. Se esse maior estiver numa linha diferente da k, eu troco as linhas. Em seguida eu zero abaixo do pivô usando multiplicadores m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}}. Cada multiplicador serve para substituir a linha i por \text{linha}_i - m_{i,k}\cdot\text{linha}_k. Isso transforma a matriz num triângulo superior; daí é só retro-substituição. Agora aplico isso passo a passo ao sistema dado.
Observação pedagógica rápida: o termo a''_{33} é o coeficiente de \,x_{3} depois de zerarmos as entradas acima. Se esse número fosse zero (ou praticamente zero), teríamos problemas de singularidade ou estabilidade e precisaríamos trocar linhas anteriormente — por isso a pivotação parcial ajuda a evitar divisões por números muito pequenos.]
Passo 7
Agora fazemos a retro-substituição. A última equação triangular nos dá diretamente \,x_{3}: