Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}1.87 x_{1}+1.18 x_{2}-0.73 x_{3} & =2.06 \\\ 1.18 x_{1}+9.61 x_{2}+5.03 x_{3} & =12.64 \\\ -0.73 x_{1}+5.03 x_{2}+4.00 x_{3} & =6.40\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede que eu o resolva pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial:
\begin{cases} 1{,}87\,x_{1}+1{,}18\,x_{2}-0{,}73\,x_{3}=2{,}06\\[4pt] 1{,}18\,x_{1}+9{,}61\,x_{2}+5{,}03\,x_{3}=12{,}64\\[4pt] -0{,}73\,x_{1}+5{,}03\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=6{,}40 \end{cases}
Informações relevantes que já temos:
  • As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Devemos aplicar eliminação de Gauss mantendo, em cada etapa, a pivotação parcial: isto é, na coluna atual escolher como pivô o elemento com maior valor absoluto entre as linhas ainda por eliminar, e trocar as linhas se necessário.
  • A saída final deve ser a solução numérica (x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 2

Explico rapidamente a ideia prática da eliminação com pivotação parcial (sem jargões): em cada coluna k (começando por k=1), eu escolho como pivô o elemento com maior valor absoluto entre as linhas k,k+1,\dots. Se esse maior estiver numa linha diferente da k, eu troco as linhas. Em seguida eu zero abaixo do pivô usando multiplicadores m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}}{a_{k,k}}. Cada multiplicador serve para substituir a linha i por \text{linha}_i - m_{i,k}\cdot\text{linha}_k. Isso transforma a matriz num triângulo superior; daí é só retro-substituição. Agora aplico isso passo a passo ao sistema dado.
Começo escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}87 & 1{,}18 & -0{,}73 & 2{,}06\\[4pt] 1{,}18 & 9{,}61 & 5{,}03 & 12{,}64\\[4pt] -0{,}73 & 5{,}03 & 4{,}00 & 6{,}40 \end{array}\right]]

Passo 3

Etapa k=1: escolha do pivô na coluna 1 entre as linhas 1,2,3.
  • Valores absolutos na coluna 1: |1{,}87|=1{,}87, |1{,}18|=1{,}18, |-0{,}73|=0{,}73.
  • O maior é |1{,}87| (linha 1). Logo não trocamos linhas. O pivô é a_{11}=1{,}87.
Agora calculo os multiplicadores para zerar abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1{,}18}{1{,}87}\approx 0{,}630481, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{-0{,}73}{1{,}87}\approx -0{,}390909.

Passo 4

Aplico as operações nas linhas 2 e 3:
  • Nova linha 2 = linha 2 - m_{21}·linha 1.
    Calculo cada entrada:
    \begin{aligned} a'_{22}&=9{,}61 - m_{21}\cdot 1{,}18 \approx 9{,}61 - 0{,}630481\cdot 1{,}18 \approx 8{,}866032,\\[4pt] a'_{23}&=5{,}03 - m_{21}\cdot(-0{,}73) \approx 5{,}03 + 0{,}630481\cdot 0{,}73 \approx 5{,}4902514,\\[4pt] b'_{2} &=12{,}64 - m_{21}\cdot 2{,}06 \approx 12{,}64 - 0{,}630481\cdot 2{,}06 \approx 11{,}34120914. \end{aligned}
  • Nova linha 3 = linha 3 - m_{31}·linha 1.
    Calculo:
    \begin{aligned} a'_{32}&=5{,}03 - m_{31}\cdot 1{,}18 \approx 5{,}03 - (-0{,}390909)\cdot 1{,}18 \approx 5{,}49127262,\\[4pt] a'_{33}&=4{,}00 - m_{31}\cdot(-0{,}73) \approx 4{,}00 - (-0{,}390909)\cdot(-0{,}73) \approx 3{,}714636,\\[4pt] b'_{3} &=6{,}40 - m_{31}\cdot 2{,}06 \approx 6{,}40 - (-0{,}390909)\cdot 2{,}06 \approx 7{,}20527254. \end{aligned}
A matriz aumentada após a primeira etapa fica aproximadamente
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}87 & 1{,}18 & -0{,}73 & 2{,}06\\[4pt] 0 & 8{,}866032 & 5{,}4902514 & 11{,}34120914\\[4pt] 0 & 5{,}49127262 & 3{,}714636 & 7{,}20527254 \end{array}\right].]

Passo 5

Etapa k=2: escolha do pivô na coluna 2 entre as linhas 2,3.
  • Valores absolutos na coluna 2 (linhas 2 e 3): |8{,}866032| e |5{,}49127262|.
  • O maior é |8{,}866032| (linha 2). Não há troca de linhas. O pivô é a'_{22}=8{,}866032.
Calculo o multiplicador para zerar a entrada (3,2):
m_{32}=\frac{a'_{32}}{a'_{22}}=\frac{5{,}49127262}{8{,}866032}\approx 0{,}619355.

Passo 6

Eliminação na linha 3 usando m_{32}:
  • Nova a''_{33}=a'_{33}-m_{32}\cdot a'_{23}. a''_{33}\approx 3{,}714636 - 0{,}6193548\cdot 5{,}4902514 \approx 0{,}31422244.
  • Novo b''_{3}=b'_{3}-m_{32}\cdot b'_{2}. b''_{3}\approx 7{,}20527254 - 0{,}6193548\cdot 11{,}34120914 \approx 0{,}18103922.
Agora a matriz está em forma triangular superior (aproximada):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1{,}87 & 1{,}18 & -0{,}73 & 2{,}06\\[4pt] 0 & 8{,}866032 & 5{,}4902514 & 11{,}34120914\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}31422244 & 0{,}18103922 \end{array}\right].
Observação pedagógica rápida: o termo a''_{33} é o coeficiente de \,x_{3} depois de zerarmos as entradas acima. Se esse número fosse zero (ou praticamente zero), teríamos problemas de singularidade ou estabilidade e precisaríamos trocar linhas anteriormente — por isso a pivotação parcial ajuda a evitar divisões por números muito pequenos.]

Passo 7

Agora fazemos a retro-substituição. A última equação triangular nos dá diretamente \,x_{3}:
x_{3}=\frac{b''_{3}}{a''_{33}} =\frac{0{,}18103922}{0{,}31422244}\approx 0{,}57615.
Expliquei a fórmula usada: quando temos \,a_{33}x_{3}=b_{3}, isolamos x_{3}=b_{3}/a_{33}.

Passo 8

Com \,x_{3} conhecido, usamos a segunda equação triangular para obter \,x_{2}:
8{,}866032\,x_{2}+5{,}4902514\,x_{3}=11{,}34120914.
Isolando x_{2}:
x_{2}=\frac{11{,}34120914-5{,}4902514\cdot x_{3}}{8{,}866032} \approx\frac{11{,}34120914-5{,}4902514\cdot 0{,}57615}{8{,}866032} \approx 0{,}92240.
Aqui apliquei a operação aritmética direta: produto, subtração e divisão — tudo como na prova, passo a passo.

Passo 9

Finalmente, uso a primeira equação original para achar \,x_{1}:
1{,}87\,x_{1}+1{,}18\,x_{2}-0{,}73\,x_{3}=2{,}06.
Isolando x_{1}:
x_{1}=\frac{2{,}06-1{,}18\,x_{2}+0{,}73\,x_{3}}{1{,}87} \approx\frac{2{,}06-1{,}18\cdot 0{,}92240 + 0{,}73\cdot 0{,}57615}{1{,}87} \approx 0{,}74447.

Resposta

x_{1}\approx 0{,}74447
x_{2}\approx 0{,}92240
x_{3}\approx 0{,}57615

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