Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de logística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} usando eliminação de Gauss com pivotação parcial (ou seja, em cada coluna trocar a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto na coluna, antes de eliminar).]
Passo 2
Primeiro, explico rapidamente o que é pivotação parcial (didático e rápido): ao eliminar na coluna k escolhemos, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha cujo coeficiente na coluna k tem maior valor absoluto e trocamos essa linha com a linha k. Isso reduz erros numéricos e evita dividir por números muito pequenos. Depois fazemos as eliminações normais usando multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Aplicamos isso à matriz aumentada. Na coluna 1 os valores absolutos são |4|,|30|,|3{,}18|; o maior é |30| (linha 2), então trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz fica:
Agora passamos à segunda coluna (coluna do x_{2}). Aplicamos pivotação parcial entre as linhas 2 e 3: comparamos |-17{,}2| e |-2{,}684|. O maior em valor absoluto é |-17{,}2| (linha 2), então não é necessário trocar linhas — mantemos a linha 2 como pivô da segunda coluna.
Pequeno comentário didático: chegamos a uma matriz triangular superior onde a última equação tem apenas x_{3}. Agora podemos aplicar substituição regressiva (back substitution) para obter x_{3}, depois x_{2} e finalmente x_{1}.]
Pequena verificação (didática, para dar confiança): ao substituir (x_{1},x_{2},x_{3})\approx(19{,}61223,\;1{,}094804,\;12{,}172) nas equações originais os lados direitos ficam muito próximos de 150,\;1400,\;144{,}45, respectivamente — isso mostra que os arredondamentos foram pequenos e a solução está correta numericamente.