Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de logística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+30 x_{2}+3.18 x_{3} & =150 \\\\ 30 x_{1}+354 x_{2}+34.84 x_{3} & =1400 \\\\ 3.18 x_{1}+34.84 x_{2}+3.61 x_{3} & =144.45\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que ele seja resolvido pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial:
\begin{cases} 4 x_{1}+30 x_{2}+3{,}18 x_{3} =150,\\[4pt] 30 x_{1}+354 x_{2}+34{,}84 x_{3} =1400,\\[4pt] 3{,}18 x_{1}+34{,}84 x_{2}+3{,}61 x_{3} =144{,}45. \end{cases}
Informações relevantes:
\text{Matriz aumentada inicial: } \left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 30 & 3{,}18 & 150\\[4pt] 30 & 354 & 34{,}84 & 1400\\[4pt] 3{,}18 & 34{,}84 & 3{,}61 & 144{,}45 \end{array}\right].
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} usando eliminação de Gauss com pivotação parcial (ou seja, em cada coluna trocar a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto na coluna, antes de eliminar).]

Passo 2

Primeiro, explico rapidamente o que é pivotação parcial (didático e rápido): ao eliminar na coluna k escolhemos, entre as linhas k,k+1,\dots,n, a linha cujo coeficiente na coluna k tem maior valor absoluto e trocamos essa linha com a linha k. Isso reduz erros numéricos e evita dividir por números muito pequenos. Depois fazemos as eliminações normais usando multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}}.
Aplicamos isso à matriz aumentada. Na coluna 1 os valores absolutos são |4|,|30|,|3{,}18|; o maior é |30| (linha 2), então trocamos a linha 1 com a linha 2. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 354 & 34{,}84 & 1400\\[4pt] 4 & 30 & 3{,}18 & 150\\[4pt] 3{,}18 & 34{,}84 & 3{,}61 & 144{,}45 \end{array}\right].
Agora eliminamos x_{1} das linhas 2 e 3.
  • Multiplicador para zerar entrada (2,1):
m_{21}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\approx 0{,}1333333.
Aplicamos R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}. Calculando cada entrada:
\begin{aligned} \text{nova }a_{21}&=4- m_{21}\cdot 30 =0,\\[4pt] \text{nova }a_{22}&=30- m_{21}\cdot 354 =30-\frac{2}{15}\cdot 354=30-47{,}2=-17{,}2,\\[4pt] \text{nova }a_{23}&=3{,}18- m_{21}\cdot 34{,}84=3{,}18-\frac{2}{15}\cdot 34{,}84=3{,}18-4{,}645333\approx -1{,}465333,\\[4pt] \text{novo RHS}&=150- m_{21}\cdot 1400=150-\frac{2}{15}\cdot 1400=150-186{,}6666667\approx -36{,}6666667. \end{aligned}
  • Multiplicador para zerar entrada (3,1):
m_{31}=\frac{3{,}18}{30}=0{,}106.
Aplicamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}. Calculando:
\begin{aligned} \text{nova }a_{31}&=3{,}18- m_{31}\cdot 30 =0,\\[4pt] \text{nova }a_{32}&=34{,}84- m_{31}\cdot 354=34{,}84-0{,}106\cdot 354=34{,}84-37{,}524=-2{,}684,\\[4pt] \text{nova }a_{33}&=3{,}61- m_{31}\cdot 34{,}84=3{,}61-0{,}106\cdot 34{,}84=3{,}61-3{,}69304=-0{,}08304,\\[4pt] \text{novo RHS}&=144{,}45- m_{31}\cdot 1400=144{,}45-0{,}106\cdot 1400=144{,}45-148{,}4=-3{,}95. \end{aligned}
Após essa primeira etapa a matriz aumentada triangular (com zeros na coluna 1 abaixo do pivô) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 354 & 34{,}84 & 1400\\[4pt] 0 & -17{,}2 & -1{,}465333\; & -36{,}6666667\\[4pt] 0 & -2{,}684 & -0{,}08304 & -3{,}95 \end{array}\right].]

Passo 3

Agora passamos à segunda coluna (coluna do x_{2}). Aplicamos pivotação parcial entre as linhas 2 e 3: comparamos |-17{,}2| e |-2{,}684|. O maior em valor absoluto é |-17{,}2| (linha 2), então não é necessário trocar linhas — mantemos a linha 2 como pivô da segunda coluna.
Eliminamos a entrada (3,2) usando o multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-2{,}684}{-17{,}2}=\frac{2{,}684}{17{,}2}\approx 0{,}1561627907.
Fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Calculamos as entradas novas da linha 3:
\begin{aligned} \text{nova }a_{33}&=-0{,}08304 - m_{32}\cdot(-1{,}465333) = -0{,}08304 + m_{32}\cdot 1{,}465333\\[4pt] &\approx -0{,}08304 + 0{,}1561627907\cdot 1{,}465333 \approx 0{,}1457905581,\\[6pt] \text{novo RHS}&=-3{,}95 - m_{32}\cdot(-36{,}6666667) = -3{,}95 + m_{32}\cdot 36{,}6666667\\[4pt] &\approx -3{,}95 + 0{,}1561627907\cdot 36{,}6666667 \approx 1{,}7748062016. \end{aligned}
Agora a matriz é triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal):
\left[\begin{array}{ccc|c} 30 & 354 & 34{,}84 & 1400\\[4pt] 0 & -17{,}2 & -1{,}465333 & -36{,}6666667\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}1457905581 & 1{,}7748062016 \end{array}\right].
Pequeno comentário didático: chegamos a uma matriz triangular superior onde a última equação tem apenas x_{3}. Agora podemos aplicar substituição regressiva (back substitution) para obter x_{3}, depois x_{2} e finalmente x_{1}.]

Passo 4

Fazemos substituição regressiva.
  1. Da terceira linha obtemos x_{3}:
0{,}1457905581\;x_{3}=1{,}7748062016 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{1{,}7748062016}{0{,}1457905581}\approx 12{,}172.
(Arredondei para três casas decimais relevantes durante apresentação; mantivemos boa precisão nas contas intermédias.)
  1. Usando a segunda linha para achar x_{2}:
-17{,}2\;x_{2}-1{,}465333\;x_{3}=-36{,}6666667.
Substituindo x_{3}\approx 12{,}172:
-17{,}2\;x_{2}-1{,}465333\cdot 12{,}172\approx -36{,}6666667.
Calculando o produto:
-1{,}465333\cdot 12{,}172\approx -17{,}8360373333.
Então
-17{,}2\;x_{2}\approx -36{,}6666667 +17{,}8360373333 = -18{,}8306293334,
x_{2}\approx \frac{-18{,}8306293334}{-17{,}2}\approx 1{,}094804031.
  1. Finalmente, usando a primeira linha para x_{1}:
30\;x_{1}+354\;x_{2}+34{,}84\;x_{3}=1400.
Substituindo x_{2}\approx 1{,}094804031 e x_{3}\approx 12{,}172:
30\;x_{1}\approx 1400 - 354\cdot 1{,}094804031 - 34{,}84\cdot 12{,}172.
Calculando os termos:
354\cdot 1{,}094804031\approx 387{,}560626974,\qquad 34{,}84\cdot 12{,}172\approx 424{,}07248.
Logo
30\;x_{1}\approx 1400 - 387{,}560626974 - 424{,}07248 = 588{,}366893026,
x_{1}\approx \frac{588{,}366893026}{30}\approx 19{,}6122297675\approx 19{,}61223.
Pequena verificação (didática, para dar confiança): ao substituir (x_{1},x_{2},x_{3})\approx(19{,}61223,\;1{,}094804,\;12{,}172) nas equações originais os lados direitos ficam muito próximos de 150,\;1400,\;144{,}45, respectivamente — isso mostra que os arredondamentos foram pequenos e a solução está correta numericamente.

Resposta

x_{1}\approx 19{,}6122297675
x_{2}\approx 1{,}094804031
x_{3}\approx 12{,}172

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