Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}1.87 x_{1}+1.18 x_{2}-0.73 x_{3} & =2.06 \\\ 1.18 x_{1}+9.61 x_{2}+5.03 x_{3} & =12.64 \\\ -0.73 x_{1}+5.03 x_{2}+4.00 x_{3} & =6.40\end{cases}
Supondo que um sistema modelado por um professor de CN resultou no seguinte conjunto de equações:
\begin{cases}4.00 x_{1}+6.96 x_{2} & =-0.71 \\\ 6.96 x_{1}+16.65 x_{2} & =-5.18\end{cases}
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.

Passo 1

O enunciado fornece dois sistemas lineares e pede que sejam resolvidos usando decomposição LU e que se calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos. As informações dadas são:
Sistema 1 (3×3):
\begin{cases} 1.87\,x_{1}+1.18\,x_{2}-0.73\,x_{3}=2.06\\[4pt] 1.18\,x_{1}+9.61\,x_{2}+5.03\,x_{3}=12.64\\[4pt] -0.73\,x_{1}+5.03\,x_{2}+4.00\,x_{3}=6.40 \end{cases}
Sistema 2 (2×2):
\begin{cases} 4.00\,x_{1}+6.96\,x_{2}=-0.71\\[4pt] 6.96\,x_{1}+16.65\,x_{2}=-5.18 \end{cases}
O que se pede:
  • Resolver cada sistema usando decomposição LU (sem que o enunciado exija pivotamento).
  • Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos (ou seja, encontrar r=b-A\hat{x} para as soluções aproximadas \hat{x} obtidas com arredondamentos durante o processo).]

Passo 2

Decisões e convenções (importante para o cálculo do resíduo):
  • Vou usar o método decomposto Doolittle (fórmula clássica para LU: L com diagonal de uns e U com a parte superior).
  • Não vou aplicar pivotamento (o enunciado apenas pede LU, então tomo LU sem pivotamento).
  • Para simular o efeito dos arredondamentos e poder calcular o resíduo decorrente desses arredondamentos, vou arredondar todos os resultados intermediários e os elementos de L, U, y e x a 3 casas decimais. Escolhi 3 casas decimais porque os dados vêm com 2 casas decimais e 3 casas permite visualizar o efeito do arredondamento sem perder demasiada precisão. Sempre que fizer uma operação, apresentarei o valor antes e depois do arredondamento quando útil.
Agora aplico LU passo a passo ao primeiro sistema.

Passo 3

Montagem inicial para o Sistema 1. Escrevo matriz A e vetor b:
A=\begin{pmatrix} 1.87 & 1.18 & -0.73\\[4pt] 1.18 & 9.61 & 5.03\\[4pt] -0.73 & 5.03 & 4.00 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}2.06\\[4pt]12.64\\[4pt]6.40\end{pmatrix}.
Começaremos a decompor A em L e U com Doolittle: A=L\,U, com L triangular inferior com uns na diagonal e U triangular superior.]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna (pivot u_{11}=1.87):
  • Multiplicador para linha 2: \ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}}=\dfrac{1.18}{1.87}=0{,}6310159\ldots. Arredondando a 3 casas: \ell_{21}=0{,}631.
  • Multiplicador para linha 3: \ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}=\dfrac{-0.73}{1.87}=-0{,}390373\ldots. Arredondando: \ell_{31}=-0{,}390.
Agora atualizo as entradas das linhas 2 e 3: para i=2,3 e j=2,3,
a'_{ij}=a_{ij}-\ell_{i1}\,u_{1j},\quad\text{onde }u_{1j}=a_{1j}.
Cálculos (com arredondamentos a 3 casas após cada resultado):
  • u_{11}=1{,}87,\;u_{12}=1{,}18,\;u_{13}=-0{,}73 (linha 1 de U).
  • a'_{22}=9{,}61-0{,}631\cdot 1{,}18=9{,}61-0{,}74458=8{,}86542\approx 8{,}865.
  • a'_{23}=5{,}03-0{,}631\cdot(-0{,}73)=5{,}03+0{,}46063=5{,}49063\approx 5{,}491.
  • a'_{32}=5{,}03-(-0{,}390)\cdot 1{,}18=5{,}03+0{,}46020=5{,}49020\approx 5{,}490.
  • a'_{33}=4{,}00-(-0{,}390)\cdot(-0{,}73)=4{,}00-0{,}2847=3{,}7153\approx 3{,}715.
Após essa etapa temos parcialmente:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0{,}631 & 1 & 0\\[4pt] -0{,}390 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1{,}87 & 1{,}18 & -0{,}73\\[4pt] 0 & 8{,}865 & 5{,}491\\[4pt] 0 & 5{,}490 & 3{,}715 \end{pmatrix},
onde os valores exibidos em U para as submatrizes foram arredondados a 3 casas.]

Passo 5

Eliminação na segunda coluna (pivot u_{22}=8{,}865):
  • Multiplicador para linha 3: \ell_{32}=\dfrac{u_{32}}{u_{22}}=\dfrac{5{,}490}{8{,}865}=0{,}619334\ldots. Arredondando: \ell_{32}=0{,}619.
  • Atualizo u_{33}:
u_{33}=3{,}715-\ell_{32}\cdot 5{,}491 = 3{,}715-0{,}619\cdot 5{,}491.
Calculemos: 0{,}619\cdot 5{,}491=3{,}398929\approx 3{,}399. Então
u_{33}=3{,}715-3{,}398929=0{,}316071\approx 0{,}316.
Agora L e U finais (valores arredondados a 3 casas):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0{,}631 & 1 & 0\\[4pt] -0{,}390 & 0{,}619 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 1{,}87 & 1{,}18 & -0{,}73\\[4pt] 0 & 8{,}865 & 5{,}491\\[4pt] 0 & 0 & 0{,}316 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolvendo L\,y=b\) (substituição progressiva). Equações: \[\begin{cases} y_1 = b_1 = 2{,}06,\\[4pt] y_2 = b_2 - \ell_{21} y_1 = 12{,}64 - 0{,}631\cdot 2{,}06,\\[4pt] y_3 = b_3 - \ell_{31} y_1 - \ell_{32} y_2. \end{cases}
Cálculos com arredondamento a 3 casas:
  • y_1=2{,}06.\] - \(y_2=12{,}64-0{,}631\cdot 2{,}06=12{,}64-1{,}29986=11{,}34014\approx 11{,}340.
    - y_3=6{,}40-(-0{,}390)\cdot 2{,}06-0{,}619\cdot 11{,}340.
    Primeiro -0{,}390\cdot 2{,}06=-0{,}8034 então subtrair dá 6{,}40+0{,}8034=7{,}2034.
    Depois 0{,}619\cdot 11{,}340=7{,}01946.
    Assim y_3=7{,}2034-7{,}01946=0{,}18394\approx 0{,}184.
Portanto:
y=\begin{pmatrix}2{,}060\\[4pt]11{,}340\\[4pt]0{,}184\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolvendo U\,x=y\) (substituição regressiva). Sistema: \[\begin{cases} u_{33}x_3 = y_3,\\[4pt] u_{22}x_2+u_{23}x_3 = y_2,\\[4pt] u_{11}x_1+u_{12}x_2+u_{13}x_3 = y_1. \end{cases}
Cálculos com arredondamento a 3 casas:
  • x_3 = \dfrac{y_3}{u_{33}}=\dfrac{0{,}184}{0{,}316}=0{,}582278\ldots\approx 0{,}582.\] - \(x_2 = \dfrac{y_2-u_{23}x_3}{u_{22}}=\dfrac{11{,}340-5{,}491\cdot 0{,}582}{8{,}865}.
    Compute 5{,}491\cdot 0{,}582=3{,}195762. Numerador =11{,}340-3{,}195762=8{,}144238\approx 8{,}144.
    Então x_2=8{,}144/8{,}865=0{,}9188\ldots\approx 0{,}919.
    - x_1 = \dfrac{y_1-u_{12}x_2-u_{13}x_3}{u_{11}}=\dfrac{2{,}06-1{,}18\cdot 0{,}919-(-0{,}73)\cdot 0{,}582}{1{,}87}.
    Compute 1{,}18\cdot 0{,}919=1{,}08442 e -0{,}73\cdot 0{,}582=-0{,}42486 então subtrair dá 2{,}06-1{,}08442+0{,}42486=1{,}40044.
    Portanto x_1=1{,}40044/1{,}87=0{,}74865\ldots\approx 0{,}749.
Solução aproximada (com arredondamentos a 3 casas):
\hat{x}=\begin{pmatrix}0{,}749\\[4pt]0{,}919\\[4pt]0{,}582\end{pmatrix}.]

Passo 8

Cálculo do resíduo para o Sistema 1: r=b-A\hat{x}. Uso a matriz A original (dados do enunciado) e \hat{x} obtida acima; não reefetuarei LU agora — apenas computo A\hat{x} e subtraio de b.
Calculemos A\hat{x}:
  • Componente 1:
1{,}87\cdot 0{,}749 + 1{,}18\cdot 0{,}919 + (-0{,}73)\cdot 0{,}582 =1{,}40063 + 1{,}08442 - 0{,}42486 = 2{,}06019.
Então r_1=2{,}06-2{,}06019=-0{,}00019 (aprox).
  • Componente 2:
1{,}18\cdot 0{,}749 + 9{,}61\cdot 0{,}919 + 5{,}03\cdot 0{,}582 =0{,}88382 + 8{,}83159 + 2{,}92746 = 12{,}64287.
Então r_2=12{,}64-12{,}64287=-0{,}00287 (aprox).
  • Componente 3:
-0{,}73\cdot 0{,}749 + 5{,}03\cdot 0{,}919 + 4{,}00\cdot 0{,}582 =-0{,}54677 + 4{,}62257 + 2{,}328 = 6{,}40380.
Então r_3=6{,}40-6{,}40380=-0{,}00380 (aprox).
O resíduo (vetor) é aproximadamente
r=\begin{pmatrix}-0{,}00019\\[4pt]-0{,}00287\\[4pt]-0{,}00380\end{pmatrix}.
Normas úteis (para avaliar a magnitude do resíduo):
  • Norma infinito: \|r\|_{\infty}\approx 0{,}00380.
  • Norma Euclidiana: \|r\|_2\approx 0{,}00476.
Esses valores mostram que os arredondamentos (3 casas) produziram um resíduo da ordem de 10^{-3} a 10^{-4}, pequeno em comparação com os dados.]

Passo 9

Agora aplico o mesmo procedimento ao Sistema 2 (2×2). Montagem:
A=\begin{pmatrix}4{,}00 & 6{,}96\\[4pt]6{,}96 & 16{,}65\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-0{,}71\\[4pt]-5{,}18\end{pmatrix}.]

Passo 10

Decomposição LU (Doolittle, sem pivotamento) para o Sistema 2:
  • u_{11}=4{,}00,\;u_{12}=6{,}96.
  • \ell_{21}=\dfrac{6{,}96}{4{,}00}=1{,}74 (exato).
  • u_{22}=16{,}65-\ell_{21}\,u_{12}=16{,}65-1{,}74\cdot 6{,}96.
    Calcule 1{,}74\cdot 6{,}96=12{,}1104. Então u_{22}=16{,}65-12{,}1104=4{,}5396\approx 4{,}540 (arredondado a 3 casas).
Portanto:
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1{,}74 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4{,}00 & 6{,}96\\[4pt]0 & 4{,}540\end{pmatrix}.]

Passo 11

Resolve L\,y=b:
y_1=-0{,}71,\qquad y_2=-5{,}18-\ell_{21}y_1=-5{,}18-1{,}74\cdot(-0{,}71).
Calcule 1{,}74\cdot(-0{,}71)=-1{,}2354 então y_2=-5{,}18+1{,}2354=-3{,}9446\approx -3{,}945 (3 casas).

Passo 12

Resolve U\,x=y (substituição regressiva):
  • x_2=\dfrac{y_2}{u_{22}}=\dfrac{-3{,}9446}{4{,}5396}=-0{,}86893\ldots\approx -0{,}869.
  • x_1=\dfrac{y_1-u_{12}x_2}{u_{11}}=\dfrac{-0{,}71-6{,}96\cdot(-0{,}869)}{4{,}00}.
    Calcule 6{,}96\cdot(-0{,}869)=-6{,}04824. Portanto numerador -0{,}71+6{,}04824=5{,}33824 e x_1=5{,}33824/4{,}00=1{,}33456\approx 1{,}335.
Solução aproximada:
\hat{x}=\begin{pmatrix}1{,}335\\[4pt]-0{,}869\end{pmatrix}.]

Passo 13

Cálculo do resíduo para o Sistema 2: r=b-A\hat{x}.
Calcule A\hat{x}:
  • Componente 1:
4{,}00\cdot 1{,}335 + 6{,}96\cdot(-0{,}869) =5{,}34 - 6{,}04824 = -0{,}70824.
Logo r_1=-0{,}71-(-0{,}70824)=-0{,}00176 (aprox).
  • Componente 2:
6{,}96\cdot 1{,}335 + 16{,}65\cdot(-0{,}869) =9{,}2916 - 14{,}46885 = -5{,}17725.
Logo r_2=-5{,}18-(-5{,}17725)=-0{,}00275 (aprox).
Assim o resíduo é aproximadamente
r=\begin{pmatrix}-0{,}00176\\[4pt]-0{,}00275\end{pmatrix},
com \|r\|_{\infty}\approx 0{,}00275 e \|r\|_2\approx 0{,}00327.]

Resposta

Para o Sistema 1 (3×3):
\hat{x}=\begin{pmatrix}0{,}749\\[4pt]0{,}919\\[4pt]0{,}582\end{pmatrix}
r=b-A\hat{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}00019\\[4pt]-0{,}00287\\[4pt]-0{,}00380\end{pmatrix}
Para o Sistema 2 (2×2):
\hat{x}=\begin{pmatrix}1{,}335\\[4pt]-0{,}869\end{pmatrix}
r=b-A\hat{x}\approx\begin{pmatrix}-0{,}00176\\[4pt]-0{,}00275\end{pmatrix}]

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