Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.
Passo 1
O enunciado fornece dois sistemas lineares e pede que sejam resolvidos usando decomposição LU e que se calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos. As informações dadas são:
Resolver cada sistema usando decomposição LU (sem que o enunciado exija pivotamento).
Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos (ou seja, encontrar r=b-A\hat{x} para as soluções aproximadas \hat{x} obtidas com arredondamentos durante o processo).]
Passo 2
Decisões e convenções (importante para o cálculo do resíduo):
Vou usar o método decomposto Doolittle (fórmula clássica para LU: L com diagonal de uns e U com a parte superior).
Não vou aplicar pivotamento (o enunciado apenas pede LU, então tomo LU sem pivotamento).
Para simular o efeito dos arredondamentos e poder calcular o resíduo decorrente desses arredondamentos, vou arredondar todos os resultados intermediários e os elementos de L, U, y e x a 3 casas decimais. Escolhi 3 casas decimais porque os dados vêm com 2 casas decimais e 3 casas permite visualizar o efeito do arredondamento sem perder demasiada precisão. Sempre que fizer uma operação, apresentarei o valor antes e depois do arredondamento quando útil.
Agora aplico LU passo a passo ao primeiro sistema.
Passo 3
Montagem inicial para o Sistema 1. Escrevo matriz A e vetor b:
y_1=2{,}06.\]
- \(y_2=12{,}64-0{,}631\cdot 2{,}06=12{,}64-1{,}29986=11{,}34014\approx 11{,}340.
- y_3=6{,}40-(-0{,}390)\cdot 2{,}06-0{,}619\cdot 11{,}340.
Primeiro -0{,}390\cdot 2{,}06=-0{,}8034 então subtrair dá 6{,}40+0{,}8034=7{,}2034.
Depois 0{,}619\cdot 11{,}340=7{,}01946.
Assim y_3=7{,}2034-7{,}01946=0{,}18394\approx 0{,}184.
Cálculo do resíduo para o Sistema 1: r=b-A\hat{x}. Uso a matriz A original (dados do enunciado) e \hat{x} obtida acima; não reefetuarei LU agora — apenas computo A\hat{x} e subtraio de b.