2 (UF-BA) Sobre números reais, classifique como verdadeiro ou falso:
( ) Se m é um inteiro divisível por 3 e n é um inteiro divisível por 5, então m+n é divisível por 15 .
( ) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.
( ) Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é ímpar.
( ) Se x e y são números reais positivos, então existe um número natural n tal que n>\frac{y}{x}.
( ) Se x é um número real positivo, então x^{2}>x
( )O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre números inteiros e reais, envolvendo temas de divisibilidade, resto em divisão, propriedade de Arquimedes, comparação de potências e irracionalidade. Vamos verificar cada uma delas separadamente, dando um contra­exemplo quando for falsa ou uma demonstração quando for verdadeira.

Passo 2

Afirmação: “Se m é divisível por 3 e n é divisível por 5, então m+n é divisível por 15.”
Contra­exemplo: tome m=3 (divisível por 3) e n=5 (divisível por 5). Então
m+n = 3+5 = 8,
e 8 não é divisível por 15.
Logo, é falso.

Passo 3

Afirmação: “O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.”
Seja m tal que m=7k para algum inteiro k. Então
m^2 = (7k)^2 = 49\,k^2 = 7\,(7k^2),
portanto m^2 é múltiplo de 7.
Logo, é verdadeiro.

Passo 4

Afirmação: “Se o resto da divisão de um inteiro n por 3 é ímpar, então n é ímpar.”
O resto ao dividir por 3 pode ser 0,1 ou 2. O único resto ímpar é 1, ou seja n=3k+1. Mas n pode ser par ou ímpar conforme k. Contra­exemplo:
n=4 \implies 4\div3\text{ deixa resto }1\\ (\text{ímpar}),\text{ porém }4\text{ é par.}íéé
Logo, é falso.

Passo 5

Afirmação: “Se x e y são reais positivos, então existe n\in\mathbb{N} tal que n>\frac{y}{x}.”
Isto é a propriedade arquimediana dos reais: para quaisquer x>0 e y>0 existe inteiro n maior que y/x.
Logo, é verdadeiro.

Passo 6

Afirmação: “Se x é real positivo, então x^2>x.”
Isso só vale para x>1. Se 0<x<1, por exemplo x=\tfrac12, então
x^2 = \tfrac14 < \tfrac12 = x.
Logo, é falso.

Passo 7

Afirmação: “O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.”
Contra­exemplo: considere \sqrt2 e 2\sqrt2, ambos irracionais e distintos.
\sqrt2\;\times\;2\sqrt2 = 2\cdot(\sqrt2)^2 = 2\cdot2 = 4,
que é racional.
Logo, é falso.

Resposta

(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(F)

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