2 (UF-BA) Sobre números reais, classifique como verdadeiro ou falso:
( ) Se
é um inteiro divisível por 3 e
é um inteiro divisível por 5, então
é divisível por 15 .
( ) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.
( ) Se o resto da divisão de um inteiro
por 3 é ímpar, então
é ímpar.
( ) Se
e
são números reais positivos, então existe um número natural
tal que
.
( ) Se
é um número real positivo, então
( )O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
( ) Se
( ) O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.
( ) Se o resto da divisão de um inteiro
( ) Se
( ) Se
( )O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre números inteiros e reais, envolvendo temas de divisibilidade, resto em divisão, propriedade de Arquimedes, comparação de potências e irracionalidade. Vamos verificar cada uma delas separadamente, dando um contraexemplo quando for falsa ou uma demonstração quando for verdadeira.
Passo 2
Afirmação: “Se
é divisível por 3 e
é divisível por 5, então
é divisível por 15.”
Contraexemplo: tome (divisível por 3) e
(divisível por 5). Então
Contraexemplo: tome
e
não é divisível por
.
Logo, é falso.
Logo, é falso.
Passo 3
Afirmação: “O quadrado de um inteiro divisível por 7 é também divisível por 7.”
Seja tal que
para algum inteiro
. Então
Seja
portanto
é múltiplo de 7.
Logo, é verdadeiro.
Logo, é verdadeiro.
Passo 4
Afirmação: “Se o resto da divisão de um inteiro
por 3 é ímpar, então
é ímpar.”
O resto ao dividir por 3 pode ser ou
. O único resto ímpar é
, ou seja
. Mas
pode ser par ou ímpar conforme
. Contraexemplo:
O resto ao dividir por 3 pode ser
Logo, é falso.
Passo 5
Afirmação: “Se
e
são reais positivos, então existe
tal que
.”
Isto é a propriedade arquimediana dos reais: para quaisquer e
existe inteiro
maior que
.
Logo, é verdadeiro.
Isto é a propriedade arquimediana dos reais: para quaisquer
Logo, é verdadeiro.
Passo 6
Afirmação: “Se
é real positivo, então
.”
Isso só vale para . Se
, por exemplo
, então
Isso só vale para
Logo, é falso.
Passo 7
Afirmação: “O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.”
Contraexemplo: considere e
, ambos irracionais e distintos.
Contraexemplo: considere
que é racional.
Logo, é falso.
Logo, é falso.
Resposta
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(V)
(F)
(F)