Sobre uma rampa plana inclinada em 60^{\circ} \mathrm{em} relação à horizontal um bloco é abandonado, em uma posição de 4,00 \mathrm{~m} de altura em relação à base da rampa. A massa do bloco é 10,0 \mathrm{~kg} e o atrito é desprezível.
A) Representar em uma figura as forças que atuam sobre o bloco abandonado.
B) Calcular o trabalho de cada uma das forças e o trabalho total sobre o bloco durante a descida, empregando a equação para cálculo do trabalho de uma força constante em trajetória retilínea.
C) Determinar a variação de energia cinética até o final da descida e a velocidade ao final da descida.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=10{,}0\\ \mathrm{kg} abandonado em uma rampa inclinada de 60^\circ em relação à horizontal, com altura inicial h=4{,}00\\ \mathrm{m}. O atrito é desprezível.
Conteúdos necessários:
– Decomposição de forças e identificação de força normal e peso.
– Cálculo de trabalho de força constante em trajetória retilínea:
W = F\,d\cos\theta.
– Teorema trabalho–energia cinética:
W_{\rm total} = \Delta K = K_f - K_i.

Passo 2

Diagrama das forças sobre o bloco:
À esquerda um esboço da rampa e do bloco; sobre ele atuam:
– O peso \vec{P}=m\vec{g} apontando vertical para baixo.
– A força normal \vec{N} perpendicular à superfície da rampa, apontando para fora dela.
Não há força de atrito.

Passo 3

Cálculo dos trabalhos ao longo da descida:
  1. Trajetória ao longo da rampa tem comprimento
d = \frac{h}{\sin60^\circ} = \frac{4{,}00}{\sqrt{3}/2} = \frac{8}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m} \approx 4{,}62\\ \mathrm{m}.
  1. Trabalho do peso \vec{P}: o ângulo entre \vec{P} (vertical para baixo) e o deslocamento (para baixo ao longo da rampa, declinando 60^\circ em relação à horizontal) é 30^\circ. Logo,
W_P = P\,d\cos30^\circ = mg\,d\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = mg\;\frac{h}{\sin60^\circ}\;\frac{\sqrt{3}}{2} = mgh.
Numericamente, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
W_P = 10{,}0\times9{,}8\times4{,}00 =392\\ \mathrm{J}.
  1. Trabalho da normal \vec{N}: como \vec{N}\perp deslocamento,
W_N = N\,d\cos90^\circ = 0.
  1. Trabalho total:
W_{\rm total} = W_P + W_N = 392\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicando o teorema trabalho–energia: o bloco parte do repouso K_i=0, então
\Delta K = W_{\rm total} \quad\Longrightarrow\quad K_f = 392\\ \mathrm{J}.
Como K_f=\tfrac12 m v^2, temos
\tfrac12\,(10{,}0)\,v^2 =392 \quad\Longrightarrow\quad v^2 =\frac{784}{10}=78{,}4 \quad\Longrightarrow\quad v =\sqrt{78{,}4}\approx8{,}86\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A) Forças: peso \vec{P}=m\vec{g} vertical para baixo; normal \vec{N} perpendicular à rampa.
B) W_P=+392\\ \mathrm{J}, W_N=0, W_{\rm total}=392\\ \mathrm{J}.
C) \Delta K=392\\ \mathrm{J} e v\approx8{,}86\\ \mathrm{m/s}.

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