Sobre retas no plano \mathbb{R}^{2} :
(a) Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto A=(2,-3) e tem vetor diretor \vec{v}=(-1,4).
(b) Converta a equação obtida no item anterior para as formas geral (cartesiana) e reduzida.
(c) Determine se o ponto B=(0,5) pertence a esta reta.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
  • Dados fornecidos:
    • Ponto A=(2,-3).
    • Vetor diretor \vec{v}=(-1,4).
    • Ponto para testar B=(0,5).
  • Perguntas:
    • (a) Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por A e tem vetor diretor \vec{v}.
    • (b) Converter a equação do item (a) para a forma geral (cartesiana) e para a forma reduzida (forma com coeficiente angular, ou slope-intercept).
    • (c) Verificar se o ponto B pertence a essa reta.

Passo 2

Entendendo o que é a equação paramétrica de uma reta a partir de um ponto e de um vetor diretor (aula curta e prática).
  • Ideia: a reta que passa por um ponto A=(x_0,y_0) e tem vetor diretor \vec{v}=(v_1,v_2) consiste em todos os pontos P=(x,y) obtidos somando ao ponto A um múltiplo real t do vetor diretor \vec{v}. Em símbolos vetoriais:
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{v},
onde \vec{A}=(x_0,y_0), \vec{v}=(v_1,v_2) e t\in\mathbb{R} é o parâmetro.
  • Explicando as variáveis:
    • t é um número real que “varre” a reta: para cada t obtemos um ponto diferente da reta;
    • x_0,y_0 são as coordenadas do ponto inicial A;
    • v_1,v_2 são as componentes do vetor diretor \vec{v}.
Agora aplicando com os dados do problema:
  • A=(2,-3) e \vec{v}=(-1,4). Então, em forma vetorial:
\vec{r}(t) = \begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente obtemos a equação paramétrica (forma cartesiana por coordenadas do parâmetro):
x=2 - t,\qquad y=-3 + 4t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso responde o item (a).

Passo 3

Como passar da forma paramétrica para a forma reduzida (slope-intercept) — procedimento e explicação passo a passo.
  • Objetivo: eliminar o parâmetro t para obter uma relação direta entre x e y.
  • A partir de x=2-t isolamos t. Como o coeficiente de t em x é -1, temos:
t=2-x.
  • Substituímos esse t na expressão de y:
y=-3+4t=-3+4(2-x).
  • Desenvolvendo e simplificando:
y=-3+8-4x=5-4x.
  • Escrevendo na forma reduzida (mais comum: y=mx+b):
y=-4x+5,
onde m=-4 é o coeficiente angular (a inclinação) e b=5 é a ordenada na origem.

Passo 4

Obter a forma geral (cartesiana) da reta a partir da forma reduzida — procedimento e interpretação.
  • Partimos de y=5-4x.
  • Colocando todos os termos do mesmo lado para obter a forma geral Ax+By+C=0:
4x+y-5=0.
  • Aqui A=4, B=1, C=-5. Essa é a forma geral da reta (útil para diversas aplicações, como testar a pertença de pontos sem resolver parâmetro).

Passo 5

Verificação se o ponto B=(0,5) pertence à reta — dois modos (substituição na forma geral e uso da paramétrica).
  • Método rápido (forma geral): substituir x=0 e y=5 em 4x+y-5:
4\cdot 0 + 5 - 5 = 0.
Como a expressão dá 0, o ponto satisfaz a equação da reta, logo pertence à reta.
  • Confirmação pela paramétrica (mostra também qual parâmetro produz B):
    • Da equação paramétrica x=2-t, com x=0 obtemos t=2.
    • Calcule y com t=2: y=-3+4\cdot 2=-3+8=5, que coincide com a coordenada y de B.
    • Portanto B é atingido para t=2, confirmando que B pertence à reta.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como escrever e checar de forma direta):
  • Para (a) escreva a forma vetorial curta \vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{v} e logo a forma componente x=2-t,\\ y=-3+4t.
  • Para (b) isole t numa das equações (geralmente onde o coeficiente é \pm1 fica mais fácil), substitua e simplifique para obter y em função de x (forma reduzida). Depois passe todos os termos para um lado para ter a forma geral.
  • Para (c) é mais rápido substituir x e y na forma geral Ax+By+C=0. Se der 0, pertence; se der diferente de 0, não pertence.
  • Motivação final: respirar fundo, seguir os passos em ordem (paramétrica → elimin. do parâmetro → teste de ponto). Já basta prática para internalizar o procedimento — e você consegue!

Resposta

(a) \;x=2-t,\\ y=-3+4t,\\ t\in\mathbb{R}.
(b) \;4x+y-5=0 (forma geral) \quad e \quad y=-4x+5 (forma reduzida).
(c) \;Sim, B=(0,5) pertence à reta (corresponde a t=2).

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