Sobre retas no plano
:
(a) Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto
e tem vetor diretor
.
(b) Converta a equação obtida no item anterior para as formas geral (cartesiana) e reduzida.
(c) Determine se o ponto
pertence a esta reta.
(a) Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto
(b) Converta a equação obtida no item anterior para as formas geral (cartesiana) e reduzida.
(c) Determine se o ponto
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
-
Dados fornecidos:
- Ponto
. - Vetor diretor
. - Ponto para testar
.
- Ponto
-
Perguntas:
- (a) Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por
e tem vetor diretor . - (b) Converter a equação do item (a) para a forma geral (cartesiana) e para a forma reduzida (forma com coeficiente angular, ou slope-intercept).
- (c) Verificar se o ponto
pertence a essa reta.
- (a) Encontrar a equação paramétrica da reta que passa por
Passo 2
Entendendo o que é a equação paramétrica de uma reta a partir de um ponto e de um vetor diretor (aula curta e prática).
- Ideia: a reta que passa por um ponto
e tem vetor diretor consiste em todos os pontos obtidos somando ao ponto um múltiplo real do vetor diretor . Em símbolos vetoriais:
onde
,
e
é o parâmetro.
- Explicando as variáveis:
-
é um número real que “varre” a reta: para cada obtemos um ponto diferente da reta; -
são as coordenadas do ponto inicial ; -
são as componentes do vetor diretor .
-
Agora aplicando com os dados do problema:
-
e . Então, em forma vetorial:
Escrevendo componente a componente obtemos a equação paramétrica (forma cartesiana por coordenadas do parâmetro):
Isso responde o item (a).
Passo 3
Como passar da forma paramétrica para a forma reduzida (slope-intercept) — procedimento e explicação passo a passo.
- Objetivo: eliminar o parâmetro
para obter uma relação direta entre e . - A partir de
isolamos . Como o coeficiente de em é , temos:
- Substituímos esse
na expressão de :
- Desenvolvendo e simplificando:
- Escrevendo na forma reduzida (mais comum:
):
onde
é o coeficiente angular (a inclinação) e
é a ordenada na origem.
Passo 4
Obter a forma geral (cartesiana) da reta a partir da forma reduzida — procedimento e interpretação.
- Partimos de
. - Colocando todos os termos do mesmo lado para obter a forma geral
:
- Aqui
, , . Essa é a forma geral da reta (útil para diversas aplicações, como testar a pertença de pontos sem resolver parâmetro).
Passo 5
Verificação se o ponto
pertence à reta — dois modos (substituição na forma geral e uso da paramétrica).
- Método rápido (forma geral): substituir
e em :
Como a expressão dá
, o ponto satisfaz a equação da reta, logo pertence à reta.
- Confirmação pela paramétrica (mostra também qual parâmetro produz
): - Da equação paramétrica
, com obtemos . - Calcule
com : , que coincide com a coordenada de . - Portanto
é atingido para , confirmando que pertence à reta.
- Da equação paramétrica
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como escrever e checar de forma direta):
- Para (a) escreva a forma vetorial curta
e logo a forma componente . - Para (b) isole
numa das equações (geralmente onde o coeficiente é fica mais fácil), substitua e simplifique para obter em função de (forma reduzida). Depois passe todos os termos para um lado para ter a forma geral. - Para (c) é mais rápido substituir
e na forma geral . Se der , pertence; se der diferente de , não pertence. - Motivação final: respirar fundo, seguir os passos em ordem (paramétrica → elimin. do parâmetro → teste de ponto). Já basta prática para internalizar o procedimento — e você consegue!
Resposta
(a)
(b) (forma geral)
e
(forma reduzida).
(c) Sim,
pertence à reta (corresponde a
).
(b)
(c)