Um solenóide com diâmetro de 4,0 \mathrm{~cm} foi enrolado com 2.000 espiras por metro. A corrente através do solenóide oscila a 60 Hz com uma amplitude de 2,0 \mathrm{~A}. Qual é a intensidade máxima do campo elétrico induzido dentro do solenóide?

Passo 1

O enunciado dá um solenóide de diâmetro 4{,}0\\ \mathrm{cm} (logo raio R=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}), com densidade de espiras n=2000\\ \mathrm{espiras/m}. A corrente varia sinusoidalmente em 60\\ \mathrm{Hz} com amplitude I_0=2{,}0\\ \mathrm{A}. Precisamos usar o campo magnético no interior do solenóide e a Lei de Faraday para achar a intensidade máxima do campo elétrico induzido.

Passo 2

O campo magnético no interior de um solenóide ideal é dado por
B(t)=\mu_0\,n\,I(t)
onde \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} e I(t)=I_0\sin(\omega t) com \omega=2\pi f=2\pi\cdot60\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Pela Lei de Faraday, o fem induzido em uma espira de raio r é
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt} \quad\text{com}\quad \Phi=B(t)\,\pi r^2.
Por simetria, o campo elétrico induzido é tangencial e uniforme em módulo, de modo que
\mathcal{E}=\oint E\;dl=E(r)\,(2\pi r).

Passo 4

Igualando os dois lados:
E(r)\,(2\pi r)=-\frac{d}{dt}\bigl[B(t)\,\pi r^2\bigr] =-\pi r^2\,\frac{dB}{dt}.
Assim, em módulo
E(r)=\frac{r}{2}\,\biggl|\frac{dB}{dt}\biggr|.

Passo 5

Como
\frac{dB}{dt}=\mu_0\,n\,\frac{dI}{dt} =\mu_0\,n\,I_0\,\omega\cos(\omega t),
a amplitude é
\bigl|\tfrac{dB}{dt}\bigr|_{\max}=\mu_0\,n\,I_0\,\omega.
Logo, o valor máximo de E no interior (no raio máximo r=R) é
E_{\max}=\frac{R}{2}\,\mu_0\,n\,I_0\,\omega.

Passo 6

Substituindo valores:
\mu_0=4\pi\times10^{-7},\\ n=2000,\\ I_0=2{,}0,\\ \omega=2\pi\cdot60,\\ R=0{,}02.
Calculando
E_{\max} =\frac{0{,}02}{2}\times4\pi\times10^{-7}\times2000\times2{,}0\times(2\pi\cdot60) \approx2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

A intensidade máxima do campo elétrico induzido é aproximadamente
0{,}02\\ \mathrm{V/m}.

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