Um sólido esférico não condutor de raio R tem uma distribuição não uniforme de cargas de densidade volumétrica rho=rhoo r / R, onde rhoo é uma constante e r é a distância ao centro da esfera.
a) Mostre que a carga total na esfera vale: q=pi rho0 R^3. b) Mostre que o campo dentro da esfera vale: E=q4 pi varepsilon0 R^4 r^2.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera não condutora de raio R com densidade volumétrica não uniforme
rho(r)=rho0,rR,
e pede:
a) a carga total q da esfera;
b) o campo elétrico interno E(r) para r<R.
Vamos usar integração em coordenadas esféricas para (a) e a Lei de Gauss para (b).

Passo 2

Para calcular a carga total usamos
q=integralV rho,dV,
em coordenadas esféricas dV=4pi r^2,dr. Assim,
q=integral0^Rrho0rR,4pi r^2,dr =4pirho0Rintegral0^Rr^3,dr =4pirho0RcdotR^44 =pi,rho0,R^3

Passo 3

Para r<R, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A Lei de Gauss diz
E(r),4pi r^2=Qint(r)varepsilon0,
onde
Qint(r) =integral0^rrho0r'R,4pi r'^2,dr' =4pirho0Rintegral0^rr'^3,dr' =pirho0,r^4R
Logo,
E(r) =14pivarepsilon0,Qint(r)r^2 =14pivarepsilon0,pi,rho0,r^4/Rr^2 =rho04varepsilon0R,r^2

Passo 4

Substituindo rho0 em função de q, da parte (a) rho0=q/(pi R^3), obtemos
E(r) =qpi R^3,14varepsilon0 R,r^2 =q4pivarepsilon0,R^4,r^2

Resposta

(a) q=pi,rho0,R^3.
(b) E(r)=q4pivarepsilon0,R^4;r^2 (no sentido radial).

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