Um sólido é formado pela rotação da função y=x^3 em torno do eixo y. Sabe-se que y varia entre 0 e 8. assinale a alternativa que contém o volume aproximado desse sólido
5000019,2 u.v
1608,49 u.v
60,32 u.v
300000 u.v
5000019,2 u.v
1608,49 u.v
60,32 u.v
300000 u.v
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve geometria analítica. A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado pela rotação da função $ y = x^3 $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função que estamos girando. A função dada é $ y = x^3 $. Como vamos rotacionar em torno do eixo $ y $, é melhor reescrevermos essa função para expressar $ x $ em função de $ y $. Então, isolando $ x $:
Passo 3
O método dos discos para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo $ y $ utiliza a seguinte fórmula:
Aqui, $ x(y) $ é a função que descreve o raio do disco em termos de $ y $, e $ [a, b] $ são os limites de integração no eixo $ y $.
Passo 4
No nosso caso, $ x(y) = \sqrt[3]{y} $ e $ y $ varia de 0 a 8. Substituindo esses valores na fórmula:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. A integral de $ y^{2/3} $ em relação a $ y $ é:
Como estamos calculando um volume, não precisamos da constante de integração. Então, avaliamos de 0 a 8:
Sabemos que $ 8^{1/3} = 2 $, então $ 8^{5/3} = (8{1/3})5 = 2^5 = 32 $. Substituindo:
Resposta
O volume aproximado do sólido é 60,32 u.v.