Quando solto do repouso da posição angular de
, um pêndulo simples de massa
e comprimento
colide com um bloco de massa
. A colisão ocorre no ponto mais baixo do movimento do pêndulo. Após a colisão, o bloco se move para direita em uma superfície com coeficiente de atrito cinético de 0,3 . Após a colisão, o pêndulo retorna e alcança uma posição angular máxima de
.
Qual a velocidade do bloco imediatamente após a colisão?
Qual a velocidade do bloco imediatamente após a colisão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo e um bloco que colidem. A gente vai precisar usar conceitos de conservação de energia e conservação de momento linear. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo:
- Um pêndulo com massa de 4 kg e comprimento de 0,5 m é solto de uma posição angular de 45°.
- Ele balança e, no ponto mais baixo, bate em um bloco de 5 kg que está numa superfície.
- Após a colisão, o bloco se move para a direita com uma certa velocidade, e o pêndulo volta alcançando até 30°.
Nosso objetivo é descobrir qual foi a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo antes da colisão. Para isso, usamos a conservação de energia. Quando o pêndulo é solto, ele tem energia potencial que se transforma em energia cinética quando chega no ponto mais baixo.
A energia potencial no ponto de 45° é dada por:
Onde:
- $ m = 4 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
- $ h $ é a altura vertical que o pêndulo desceu.
Para encontrar $ h $, usamos a relação geométrica:
Com $ \theta = 45° $:
Agora, a energia potencial inicial:
Essa energia se transforma em energia cinética no ponto mais baixo:
Então:
Então, a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo antes da colisão é aproximadamente 1,69 m/s.
Passo 3
Agora, vamos analisar a colisão entre o pêndulo e o bloco. Para isso, usamos a conservação do momento linear. O momento antes da colisão é todo do pêndulo, já que o bloco está parado. Após a colisão, os dois corpos se movem juntos.
A fórmula da conservação do momento linear é:
Onde:
- $ m = 4, kg $ (massa do pêndulo)
- $ v \approx 1,69, m/s $ (velocidade do pêndulo antes da colisão)
- $ M = 5, kg $ (massa do bloco)
- $ V $ é a velocidade conjunta imediatamente após a colisão.
Rearranjando a equação para encontrar $ V $:
Então, a velocidade conjunta imediatamente após a colisão é aproximadamente 0,752 m/s.
Passo 4
Mas peraí, queremos a velocidade do bloco apenas, não a conjunta. Como o pêndulo retorna e sobe até 30°, isso indica que parte da energia é transferida de volta para o pêndulo. Para achar somente a velocidade do bloco, precisamos considerar que após a colisão, o pêndulo ainda tem movimento.
Vamos retornar à conservação do momento linear considerando que apenas o bloco ganha velocidade após a colisão, já que queremos a velocidade dele imediatamente após. Portanto, nossa análise anterior com o movimento conjunto pode não ser totalmente precisa para esse caso específico.
Na verdade, para achar a velocidade do bloco imediatamente após a colisão, podemos considerar que o pêndulo continua a ter movimento, então a conservação do momento linear deve levar em conta as velocidades separadas após a colisão.
Vamos refazer usando a conservação do momento linear de forma correta:
Onde:
- $ v_p $ é a velocidade do pêndulo após a colisão.
- $ v_b $ é a velocidade do bloco após a colisão.
Mas também sabemos que após a colisão, o pêndulo sobe até 30°, o que nos dá outra relação via conservação de energia. Vamos usar essa informação.
Passo 5
Quando o pêndulo sobe até 30°, a energia cinética dele após a colisão se converte em energia potencial. Vamos calcular essa energia para encontrar $ v_p $:
Primeiro, a altura que o pêndulo sobe quando atinge 30°:
Então, a energia potencial no ponto de 30°:
Essa energia veio da energia cinética do pêndulo após a colisão:
Agora, voltando à conservação do momento linear:
Resposta
A velocidade do bloco imediatamente após a colisão é aproximadamente 0,434 metros por segundo.