Quando solto do repouso da posição angular de 45^circ, um pêndulo simples de massa m=4 Kg e comprimento L=0,5 m colide com um bloco de massa M=5 Kg. A colisão ocorre no ponto mais baixo do movimento do pêndulo. Após a colisão, o bloco se move para direita em uma superfície com coeficiente de atrito cinético de 0,3 . Após a colisão, o pêndulo retorna e alcança uma posição angular máxima de 30^circ.
Qual a velocidade do bloco imediatamente após a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo e um bloco que colidem. A gente vai precisar usar conceitos de conservação de energia e conservação de momento linear. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo:
  • Um pêndulo com massa de 4 kg e comprimento de 0,5 m é solto de uma posição angular de 45°.
  • Ele balança e, no ponto mais baixo, bate em um bloco de 5 kg que está numa superfície.
  • Após a colisão, o bloco se move para a direita com uma certa velocidade, e o pêndulo volta alcançando até 30°.
Nosso objetivo é descobrir qual foi a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo antes da colisão. Para isso, usamos a conservação de energia. Quando o pêndulo é solto, ele tem energia potencial que se transforma em energia cinética quando chega no ponto mais baixo.
A energia potencial no ponto de 45° é dada por:
U = mgh
Onde:
  • $ m = 4 , kg $
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
  • $ h $ é a altura vertical que o pêndulo desceu.
Para encontrar $ h $, usamos a relação geométrica:
m = 4 , kg
Com $ \theta = 45° $:
g = 9,8 , m/s^2
Agora, a energia potencial inicial:
h
Essa energia se transforma em energia cinética no ponto mais baixo:
h
Então:
h = L - L cos(theta) = L(1 - cos(theta))
Então, a velocidade do pêndulo no ponto mais baixo antes da colisão é aproximadamente 1,69 m/s.

Passo 3

Agora, vamos analisar a colisão entre o pêndulo e o bloco. Para isso, usamos a conservação do momento linear. O momento antes da colisão é todo do pêndulo, já que o bloco está parado. Após a colisão, os dois corpos se movem juntos.
A fórmula da conservação do momento linear é:
m v = (m + M) V
Onde:
  • $ m = 4, kg $ (massa do pêndulo)
  • $ v \approx 1,69, m/s $ (velocidade do pêndulo antes da colisão)
  • $ M = 5, kg $ (massa do bloco)
  • $ V $ é a velocidade conjunta imediatamente após a colisão.
Rearranjando a equação para encontrar $ V $:
m = 4, kg
Então, a velocidade conjunta imediatamente após a colisão é aproximadamente 0,752 m/s.

Passo 4

Mas peraí, queremos a velocidade do bloco apenas, não a conjunta. Como o pêndulo retorna e sobe até 30°, isso indica que parte da energia é transferida de volta para o pêndulo. Para achar somente a velocidade do bloco, precisamos considerar que após a colisão, o pêndulo ainda tem movimento.
Vamos retornar à conservação do momento linear considerando que apenas o bloco ganha velocidade após a colisão, já que queremos a velocidade dele imediatamente após. Portanto, nossa análise anterior com o movimento conjunto pode não ser totalmente precisa para esse caso específico.
Na verdade, para achar a velocidade do bloco imediatamente após a colisão, podemos considerar que o pêndulo continua a ter movimento, então a conservação do momento linear deve levar em conta as velocidades separadas após a colisão.
Vamos refazer usando a conservação do momento linear de forma correta:
m v = m vp + M vb
Onde:
  • $ v_p $ é a velocidade do pêndulo após a colisão.
  • $ v_b $ é a velocidade do bloco após a colisão.
Mas também sabemos que após a colisão, o pêndulo sobe até 30°, o que nos dá outra relação via conservação de energia. Vamos usar essa informação.

Passo 5

Quando o pêndulo sobe até 30°, a energia cinética dele após a colisão se converte em energia potencial. Vamos calcular essa energia para encontrar $ v_p $:
Primeiro, a altura que o pêndulo sobe quando atinge 30°:
vp
Então, a energia potencial no ponto de 30°:
h' = L (1 - cos(30°)) = 0,5 times (1 - raiz32) approx 0,5 times (1 - 0,8660) = 0,5 times 0,1340 = 0,0670, m
Essa energia veio da energia cinética do pêndulo após a colisão:
U' = m g h' = 4 times 9,8 times 0,0670 approx 2,63, J
Agora, voltando à conservação do momento linear:
12 m vp^2 = 2,63 vp^2 = 2 times 2,634 = 5,264 = 1,315 vp approx raiz1,315 approx 1,147, m/s

Resposta

A velocidade do bloco imediatamente após a colisão é aproximadamente 0,434 metros por segundo.

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