Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
x y^prime=y+3 x^4 cos ^2(y / x), y(1)=0
(Set y / x=u )

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
x dydx = y + 3x^4 cos^2!l(tfracyxr), y(1)=0
Precisamos resolver usando a substituição u=tfracyx, que costuma transformar equações homogêneas num problema de variáveis separáveis.

Passo 2

Definindo y = ux, obtemos
dydx = u + x,dudx
Multiplicando por x,
xdydx = xl(u + xdudxr) = xu + x^2dudx

Passo 3

No lado direito substituímos y=ux e y/x=u:
y + 3x^4cos^2l(tfracyxr) = ux + 3x^4cos^2(u)
Igualando com o lado esquerdo:
xu + x^2dudx = ux + 3x^4cos^2(u) ;Longrightarrow; x^2dudx = 3x^4cos^2(u) ;Longrightarrow; dudx = 3x^2cos^2(u)

Passo 4

Separamos variáveis:
ducos^2(u) = 3x^2,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral sec^2(u),du = integral 3x^2,dx

Passo 5

As integrais dão
integral sec^2(u),du = tan(u) + C1, integral 3x^2,dx = x^3 + C2
Juntando as constantes em C=C2 - C1, a solução geral implícita é
tan(u) = x^3 + C

Passo 6

Voltando a u=tfracyx:
tan!l(tfracyxr) = x^3 + C
Usamos y(1)=0:
tan!l(0r) = 1^3 + C ;Longrightarrow; 0 = 1 + C ;Longrightarrow; C = -1
Fica então
tan!l(tfracyxr) = x^3 - 1 ;Longrightarrow; yx = arctan(x^3 - 1) ;Longrightarrow; y = x,arctan(x^3 - 1)

Resposta

y(x) = x,arctanl(x^3 - 1r)

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