Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
y^prime=y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é y' = y . Essa questão está no tema de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração ou lembrar de alguma fórmula de derivação que nos ajude a achar a solução. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação y' = y está nos dizendo. Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x , ou seja, como y está mudando conforme x muda. A equação diz que essa taxa de mudança é igual ao próprio y .

Passo 3

Para resolver isso, podemos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. Vamos separar as variáveis y e x :
dydx = y
Vamos dividir ambos os lados por y :
1y , dy = dx

Passo 4

Agora, a gente fica com uma forma onde podemos integrar os dois lados. Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y , dy = integral dx
A integração de 1y , dy é ln|y| , e a integração de dx é x . Então temos:
ln|y| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver para y de forma a tirar o logaritmo. Para isso, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
e^ln|y| = e^x + C
Sabemos que e^ln|y| = |y| , então:
|y| = e^x cdot e^C
Podemos simplificar e^C para uma nova constante K (já que e^C é apenas uma constante positiva).

Passo 6

Finalmente, removemos o valor absoluto, já que K pode ser positivo ou negativo:
y = K cdot e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' = y é:
y = C cdot e^x
Onde C é uma constante real qualquer.

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