Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Essa questão está no tema de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração ou lembrar de alguma fórmula de derivação que nos ajude a achar a solução. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
está nos dizendo. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, como
está mudando conforme
muda. A equação diz que essa taxa de mudança é igual ao próprio
.
Passo 3
Para resolver isso, podemos reescrever a equação de uma forma que facilite a integração. Vamos separar as variáveis
e
:
Vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, a gente fica com uma forma onde podemos integrar os dois lados. Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integração de
é
, e a integração de
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
de forma a tirar o logaritmo. Para isso, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Podemos simplificar
para uma nova constante
(já que
é apenas uma constante positiva).
Passo 6
Finalmente, removemos o valor absoluto, já que
pode ser positivo ou negativo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante real qualquer.