Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é $ y’ = -1.5,y $. Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente equações lineares e separáveis. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, como $ y $ muda conforme $ x $ muda. A equação $ y’ = -1.5,y $ nos diz que a taxa de mudança de $ y $ é proporcional a $ y $ mesma, com uma constante de proporcionalidade de
.
Passo 3
Como essa é uma equação diferencial separável, podemos reorganizá-la para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Dividimos ambos os lados por $ y $ e multiplicamos por $ dx $ para obter:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de $ \frac{1}{y} , dy $ é $ \ln|y| $, e a integral de $ -1.5 , dx $ é $ -1.5,x $. Então temos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Para isolar $ y $, vamos usar a propriedade exponencial. Elevamos $ e $ aos dois lados da equação:
Simplificando, temos:
Como $ e^{C} $ é apenas uma constante positiva, podemos representá-la como $ K $. Assim:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ K $ é uma constante arbitrária.