Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
y^prime=4 e^-x cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que diz que a derivada de y em relação a x é igual a 4 e^-x cos x . A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais ordinárias (EDO) e integração. Para resolver, precisamos integrar a expressão 4 e^-x cos x em relação a x .

Passo 2

Primeiro, lembramos que para encontrar y(x) , precisamos integrar y' . Então, temos:
y(x) = integral 4 e^-x cos x , dx + C
Aqui, C é a constante de integração que aparece quando fazemos integrações indefinidas.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral e^ax cos(bx) , dx . Existe uma fórmula específica para isso:
integral e^ax cos(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a cos bx + b sin bx) + C
No nosso caso, a = -1 e b = 1 .

Passo 4

Aplicando a fórmula com a = -1 e b = 1 :
integral e^-x cos x , dx = e^-x(-1)^2 + 1^2 (-1 cos x + 1 sin x) + C = e^-x2 (-cos x + sin x) + C
Multiplicando por 4, que está na frente da integral original:
4 times e^-x2 (-cos x + sin x) = 2 e^-x (-cos x + sin x)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 2 e^-x (sin x - cos x) + C

Exercícios relacionados