Solve the ODE by integration or by remembering a differentiation formula.
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
para resolver. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente tratando de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar métodos de solução para EDOs, como encontrar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem como
, a gente pode assumir que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Isso nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Então, a equação fica:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica
. Isso nos dá duas raízes complexas:
Onde
é a unidade imaginária, isto é,
.
Passo 5
Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma
, a solução geral da EDO é:
No nosso caso,
e
, então a solução simplifica para:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.